Gyökvonás feladatokban lenne szükségem segítségre?

1a

3-2*gyök(2)*gyök(3)+2

1.a

A négyzethez kell tudni ezt: (x-y)² = x² - 2xy + y²

Ezt be kellene magolni!

Most x=√3, y=√2

x²=3, y²=2

2xy = 2·√3·√2 = 2·√(3·2) = 2·√6

Ezen nem lehet tovább egyszerűsíteni, mert a 6 nem négyzetszám.

Az eredmény x² - 2xy + y² = 3 - 2·√6 + 2 = 5 - 2√6

---

A másik része érdekesebb. Ha azt látod, hogy ugyanannak az összege meg a különbsége is ott van a szorzatban, akkor erre a másik nevezetes szorzatra kell gondolni (a négyzetgyök egyelőre nem érdekes):

(x+y)(x-y) = x² - y²

Ezt is be kell magolni sajnos!!!!

Most jön a felhasználása:

Két gyöknek a szorzatát össze lehet vonni egyetlen gyökké:

√(9+√17) · √(9-√17) = √( (9+√17)(9-√17) )

Máris megjelent az előbb felírt pluszmínuszos szorzat. Most x=9, y=√17. Látod, ugye? Lesz belőle x²-y² = 81 - 17 = 64

Nem szabad elfeledkezni még a külső gyökjelről! Tehát eddig ilyenre alakítottuk:

√64

A 64 pedig egy négyzetszám. A szorzótáblából a négyzeteket nagyon kell tudni a gyökvonásos feladatoknál. 64=8·8, vagyis √64 = 8.

----

1.b

Itt nincs rendesen felírva a feladat. Gyöktelenítés alatt a nevező gyöktelenítését kell érteni. Szóval a nevezőből tűnjön el a gyök, a számlálóban lehet.

Ha a számlálót is meg a nevezőt is beszorozzuk ugyanazzal a számmal, nem változik az érték. Ez az alapja a megoldásnak.

5/√10 Itt √10-zel érdemes szorozni, akkor a nevezőben 10 lesz, ugye? A számláló meg 5·√10

Vagyis 5·√10 / 10

Amit lehet egyszerűsíteni 5-tel:

= √10/2

Kész.

---

2√2 / √6

Ezt meg √6-tal érdemes beszorozni felül is, alul is.

= 2√2·√6 / 6

A gyököket egybe lehet vonni:

= 2·√(2·6) / 6

= 2·√12 / 6

Lehet 2-vel egyszerűsíteni (Vigyázz! 6-tal nem lehet, ugyanis ami a gyökjel alatt van, az a 12 nem igazi 12, az nem osztható 6-tal.)

= √12 / 3

Ezt már el kell fogadja a tanár. Ha szemfüles vagy, akkor viszont még észreveszed, hogy 12=4·3, amiből a 4 négyzetszám.

= √(4·3) / 3 = 2·√3 / 3

Ennél egyszerűbbre nem lehet hozni.

---

12 / (5 - √17)

Ez kicsit bonyolultabb. Itt nem érdemes a nevezővel beszorozni, mint az előbb, mert abból nem esik ki a gyök. Itt is a fenti második nevezetes szorzatot kell alkalmazni: (x+y)(x-y) = x²-y², hisz az darabonként veszi x meg y négyzetét, tehát a √17-ből 17-et csinál.

Vagyis a nevező "fordítottjával" kell beszorozni felül is, alul is: 5+√17-tel.

= 12·(5+√17) / (5² - 17)

= 12·(5+√17) / 8

= 3·(5+√17) / 2

Kész, ennel egyszerűbb nemtud lenni, és gyöktelen a nevező, ahogy a feladat kérte.

2.

Itt egyszerűen négyzeteket kell keresni:

4 az négyzet, 81 szintén (9²), a², b⁴, c², d⁶ mind négyzetek. A hatványozok fognak feleződni, pl. √d⁶ = d³

(nem tudom, kell-e negatív számokra felkészülni, ha igen, akkor abszolút értékbe kell tenni a végén mindent. De ha a kettesre mész, akkor ezzel ne foglalkozz.)

Szóval az a) megoldása (2ab²) / (9cd³)

b: Itt a 8-ból 2·4 tud csak lenni, amiből a 4 négyzet. a⁵ = a·a⁴, b⁷ = b·b⁶. Szóval a páratlan hatványokól párosat kell csinálni, mert a párosból lehet csak gyököt vonni. A páratlan maradék majd ott marad a gyökjel alatt.

√(8a⁵b⁷) = √(2·4·a·a⁴·b·b⁶) = 2·a²·b³·√(2·a·b)    kész

c: √(81y⁴)

szerencsére a 81 negyzetszám, az y⁴ meg páros hatvány

= √(9²·y⁴) = 9·y²

d:

√( (x+y)⁴ / (75x⁶) )

a negyediken meg a hatodikon rendben vannak (párosak), 75 = 3·25 = 3·5²

A páros hatvanyúakból a fele hatvanyú lesz, a 3 meg bent marad a gyökjel alatt:

= (x+y)² / (5x³) · 1/√3

3)

A √2-t ki lehet emelni mindegyikből:

√2 · (3 + √16 - √100)

Szerencsére a 16 is meg a 100 is négyzetszám

= √2 · (3 + 4 - 10)

= -3·√2