Geometria feladat, adnátok valami ötletet?

Sajnos elemi geometriából béna vagyok, mint a mellékelt ábra mutatja…

Vektorokkal:

Legyen az ABP, BCP, CDP, DAP háromszögek súlypontja rendre Q, R, S, T, a pontokba mutató helyvektorokat jelöljük a nekik megfelelő kisbetűkkel. A háromszög súlypontja a csúcsaiba mutató vektorok átlaga; tehát

q = (a + b + p)/3,

r = (b + c + p)/3,

s = (c + d + p)/3

és

t = (d + a + p)/3.

Hogy parallelogramma, ahhoz az kell, hogy a szemközti oldalainak vektorai egyenlő nagyságúak (a szemközti oldalak egyenlőek). Az egyik szemközti oldalpár a QR és a TS, ezek vektoraira kell, hogy

q – r = t – s.

Szorozzunk egyből 3-mal:

(a + b + p) – (b + c + p) = (d + a + p) – (c + d + p),

a – c = a – c.

Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért q – r = t – s, és készen vagyunk, mert ez hasonlóan elmondható az RS és TQ oldalakról is.

A kérdező biztosan érti, de én nem:

"Határozzuk meg az EFGH és az ABCD négyszögek területének arányát. "

Nekem is elmondanátok, hogy a 2:9 hogy jön ki?

Jah, én azzal voltam elfoglalva, hogy az EFGH parallelogramma voltát igazoljam, a területekkel nem foglalkoztam. (Meg az EFGH-t átneveztem PQRS-re… Bocsánat.)

A súlypontok által meghatározott négyzet területe ugye egyszerűen

Ts = |(a – c)×(b – d)|/9,

a nagyobbiké pedig

Tn = (|(a – b)×(a – d)| + |(c – b)×(c – d)|)/2.

A kettő hányadosát meg ki kell számolni.

Na, figyelve az irányokra, azaz az hülye előjeles területek előjelére:

A nagy négyszög területe

Tn = T(ABD) + T(BCD) = |(b – a)×(d – a)/2 + (d – c)×(b – c)/2|,

2*Tn = |b×d – b×a – a×d + a×a + d×b – d×c – c×b + c×c|.

Ugye egy vektor önmagával vett keresztszorzata 0, b×d + d×b = b×d – b×d = 0, tehát

2*Tn = |a×b – a×d + c×d – c×b| = |a×(b – d) – c×(b – d)| = |(a – c)×(b – d)|,

ami éppen a kis parallelogramma területének 9-szerese:

2*Tn = 9*Ts

Ts/Tn = 2/9.

Viszont én továbbra is nagyon szívesen megnéznék egy elemi geometriai megoldást.

"Viszont én továbbra is nagyon szívesen megnéznék egy elemi geometriai megoldást."

[link]