MATEMATIKA,4. GYÖK ALATT A 16I?

Rajzold fel a komplex síkot, úgy jobban látszik.

Az i 90°-nál van, vagyis φ=π/2

A hossz pedig 16

16 i = 16·(cos π/2 + i·sin π/2)

Na most nem csak π/2 lehet a π szög, hanem akárhány teljes kört (vagyis akárhányszor 2π-t) hozzá lehet adni:

16 i = 16·(cos(π/2 + 2kπ) + i·sin(π/2 + 2kπ))

Ennek a gyöke: Egyrészt a hossznak kell venni a gyökét (⁴√16 = 2), másrészt a szögnek a negyedrészét:

φ = π/2 + 2kπ

φ/4 = π/8 + k·π/2

⁴√(16i) = 2·(cos(π/8 + k·π/2) + i·sin(π/8 + k·π/2))

k értéke bármilyen egész szám lehet. Rajzold fel a komplex síkon azokat a számokat, amiknek 2 a hossza és ennyi a szöge:

k=0: φ₁ = π/8

k=1: φ₂ = π/8 + π/2

k=2: π₃ = π/8 + π

k=3: φ₄ = π/8 + 3π/2

k=4: φ₂ = π/8 + 2π

viszont ez a pont a komplex síkon már ugyanaz, mint a k=0-hoz tartozó volt. Ha tovább mennék k-val, akkor is mind olyan jönne ki, amik már voltak. Szóval 4 különböző negyedik gyök jött ki.

"Na most nem csak π/2 lehet a π szög"

Ezt π helyett φ-vel kell érteni... Így:

"Na most nem csak π/2 lehet a φ szög"