Bizonyítsd be, hogy 0<ε<1 (ú. N. excentricitás) esetén az előző polárkoordinátás alak ellipszist ad meg!?

> „az előző polárkoordinátás alak”

Talán a következő, nem gondolod?

r(θ) = p / (1 + ε·cos(θ))

Olyan ellipszis lesz ebből, aminek az egyik fókuszpontja az origó.

[link]

Az ábrán vedd úgy, hogy a koordinátarendszer origója nem a tengelyek metszéspontja, hanem a jobb oldali F pont. Ekkor:

- A piros kerületi pont az (x,y) pont

- r = √(x²+y²)

- cos θ = x / r

Ezeket behelyettesítjük a fenti összefüggésbe:

r = p / (1 + ε·x/r)

r·(1 + ε·x/r) = p

r + ε·x = p

r = p - ε·x

√(x²+y²) = p - ε·x

x² + y² = p² - 2p·εx + ε²x²

- Ha ε = 0, akkor ez egy p sugarú kör

x²(1-ε²) + 2p·εx + y² = p²

- Ha ε = 1, akkor ez egy balra nyíló parabola: y² = 2p(p/2 - x)

x² + 2p·εx/(1-ε²) + y²/(1-ε²) = p²/(1-ε²)

(x + p·ε/(1-ε²))² - p²ε²/(1-ε²)² + y²/(1-ε²) = p²/(1-ε²)

(x + p·ε/(1-ε²))² + y²/(1-ε²) = p²/(1-ε²) + p²ε²/(1-ε²)²

(x + p·ε/(1-ε²))² + y²/(1-ε²) = p²/(1-ε²)²

- Legyen a = p/(1-ε²)

(x + ε·a)² + y²·a/p = a²

(x + ε·a)² / a² + y²·/(ap) = 1

- Legyen b² = ap = p²/(1-ε²), ha 0<ε<1

(x + ε·a)² / a² + y²·/ b² = 1

Ez pedig egy ellipszis egyenlete, aminek a középpontja a (-ε·a; 0) pontban van, tengelyei pedig a és b.

Ha ε > 1, akkor 1-ε² negatív; ekkor ha b² = p²/(ε²-1) jelölést vezetünk be, ez lesz az egyenlet:

(x + ε·a)² / a² - y²·/ b² = 1

Ez egy hiperbola egyenlete.