Szorzattá alakítás? Feladatok. Bővebben lent.

Az első megoldása: a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=3(a^2+b^2+c^2)

levonva belőle a négyzetes tagokat és elosztva kettővel:

ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2

tudjuk, hogy a geometriai közép kisebbegyenlő, mint a négyzetes közép: ab=<(a^2+b^2):2 és így a többivel is, aztán a bal oldalakat összeadva kijön az eredeti bal oldala, a jobb oldalakat összeadva az eredeti jobb ldala. Tudjuk , hogy egyenlőség akkor és csak akkor, ha a=b=c.

Az első megoldása közepek nélkül, egyszerű átalakításokkal:

felbontva:

a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=3(a^2+b^2+c^2)

átrendezve:

0=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac

a jobb oldal csoportosítható teljes négyzetekké:

0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

emiatt ugye csak az lehet, hogy minden tag nulla, azaz a=b=c

A második megoldása hasonlóan algebrával:

(x+y+z)^2=x^2+z^2+y^2+2xz+2zy+2yz

a feltételek miatt:

0=x^2+z^2+y^2+0

innen megint csak a nemnegatív értékek miatt x=y=z=0 lehet csak

a harmadik:

a/b = b/c

ac=b^2

és hasonlóan a másik két esetben:

ab=c^2, bc=a^2

négyzetre emelve az elsőt:

a^2*c^2=b^4

a másodikból c^2-et kiváltva:

a^2*ab=b^4

egyszerűsítve:

a^3=b^3

innen pedig a=b

... könnyen befejezhető

a negyedik a) esetében ügyesen hozzáadjuk és kivonjuk ugyanazt, persze célvezérelten:

4*100^400+1=

=4*100^400+4*100^200+1-4*100^200=

=(2*100^200+1)^2-(2*100^100)^2

ez meg a jól ismert a^2-b^2=(a+b)(a-b) azonossággal szorzatként felírható, amelynek egyik tényezője sem 1

tehát nem prím ez a szám

a c) eset tök ugyanígy:

n^4+64=

=n^4+16*n^2+64-16*n^2=

=(n^2+8)^2-(4*n)^2=

=(n^2+4n+8)(n^2-4n+8)

itt azt még meg kell vizsgálni, hogy nem lehet-e 1 valamelyik zárójel értéke...

a B9 esetben azt lehet felhasználni, hogy ha k páratlan, akkor a^k+1 felírható szorzat alakban:

(a+1)[a^(k-1)-a^(k-2)+....+1]

ekkor 2^2014+1=4^1007+1=

(4+1)[4^1006-4^1005+...+1]

tehát 5 kiemelhető, azaz nem prím