Hogyan lehet megoldani szorzattá alakítás módszerével az x^3 - y^3 = 91 diofantikus egyenletet?

A feladat

x³ - y³ = 91

Idáig jó, amit csináltál

(x - y)(x² + xy + y²) = 91 = 1*91 = 7*13

A szorzótényezők párosítása után tévedhettél el valahol, nem tudom, mit csináltál az egyenletekkel.

Mivel több azonos alakú egyenlet megoldására lehet számítani, célszerűnek találtam az általános megoldás megkeresését.

A megoldandó feladat a következő alakú lesz

(x - y)(x² + xy + y²) = a*b

A párosítás után előálló két egyenlet

x - y = a

x² + xy + y² = b

Innen már csak ízlés kérdése a megoldás.

Én a következőt választottam.

Az első egyenletet négyzetre emelve, a második marad

x² - 2xy + y² = a²

x² + xy + y² = b

A másodikból kivonva az elsőt lesz

3xy = b - a²

ill.

xy = (b - a²)/3

E mellé vesszük az első kiinduló egyenletet

x - y = a

Így van két új egyenletünk

xy = (b - a²)/3

x - y = a

A másodikból x-et kifejezve,

x = y + a

majd az elsőbe helyettesítve

(y + a)y = (b - a²)/3

Baloldalon a zárójelet felbontva, majd rendezve kapjuk, hogy

y² + ay - (b - a²)/3 = 0

A gyökök

y1,2 = {-a ±√[a² + 4(b - a²)/3]}/2

A gyök alatt lehet összevonni, ami után

D = a² + 4(b - a²)/3 = (4b - a²)/3

ezzel

y1,2 = {-a ±√[(4b - a²)/3]}/2

Lássuk a behelyettesítést

az első szorzótényező pár

a = 1

b = 91

A diszkrimináns

D = (4b - a²)/3 = (4*91 - 1)/3 = 121

így

y1,2 = (-1±√121)/2 = (-1±11)/2

vagyis

y1 = 5

y2 = -6

A behelyettesítési értékből

x = y + a

vagyis

x1 = 6

x2 = -5

Tehát a megoldás párok

x1 = 6

y1 = 5

és

x2 = -5

y2 = -6

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve

x³ - y³ = 91

x1, y1 esetén

6³ - 5³ = 91

x2, y2 esetén

(-5)³ - (-6)³ = 91

Tehát jó a megoldás!

A másik szorzótényező pár számítását rád bízom, remélem nem okoz gondot.

Elárulom, az is megoldás. :-)

Van még egy kérdés, kíváncsi vagyok, rájössz-e, mire gondolok. :-)

DeeDee

**********