Négyzetet szeretnénk felosztani kisebb (de nem feltétlenül egyenlő) oldalhosszúsága négyzetekre. Milyen megfigiyeléseket tehetünk? Hány db kis négyzetre lehet felosztani? Hány darabra nem lehet egyáltalán?

Régebben volt egy ehhez hasonló feladat; ott azt kellett bizonyítani, hogy ha n>=6, akkor egy négyzet felosztható n darab (nem feltétlenül egybevágó) kisebb négyzetté. Ha megtalálom azt a kérdést, akkor majd belinkelem.

Ott én úgy bizonyítottam, hogy ha páros sok darab négyzetre akarjuk felbontani, akkor azt megtehetjük úgy, hogy "L-alakban" fel tudunk rajzolni n-1 darab kis négyzetet, és ezen kívül, ami marad, az szintén egy négyzet, tehát n-1+1=n darab négyzetet tudtunk megtalálni. Ha pedig páratlanról van szó, akkor az egyik kisebb négyzetet felosztjuk 4 egyenlő részre, ekkor n+3 négyzetet kapunk.

Mondok egy példát; osszunk fel egy négyzetet 12 egyenlő részre. A jobb érthetőség kedvéért a kiinduló négyzet oldalhossza legyen 12 cm hosszú. Ebben az esetben "L-alakban" fel tudunk rajzolni 11 darab 2 cm oldalhosszúságú négyzetet, ami ezen kívül marad, az egy 10x10-es rész, ami szintén egy négyzet (ha lerajzolod, akkor jobban megérted).

Most nézzük 13 felosztás esetén mi a helyzet; azt mondtuk, hogy ha n páros, akkor ebből n+3 páratlan négyzet kihozható. 13-3=10, tehát azt kell megnéznünk, hogy 10-re felosztható-e. A válasz igen; a jobb érthetőség kedvéért megint legyen 10 cm hosszú a kiinduló négyzetünk. Ekkor "L-alakban" 9 darab 2 cm-es négyzetet tudunk belerajzolni, és ami ezeken kívül marad, az egy 8x8-as rész, ami szintén egy négyzet. Ha mondjuk ezt a 8x8-as négyzetet felosztjuk 4 kisebb négyzetté, akkor a 10 négyzetből 13 négyzetet kapunk, amit kellett is kapnunk (rajz után ezt is meg tudod érteni).

A bizonyítás n>=6-ra megáll, tehát ha legalább 6 négyzetre akarjuk felbontani, akkor fel tudjuk bontani. Nézzük, hogy ennél kevesebbre lehet-e vagy sem:

0: nem lehet

1: lehet, ha nem csinálunk semmit

2: nem lehet

3: nem lehet

4: lehet (a szemközti oldalfelező pontokat összekötjük)

5: nem lehet

Ha van még kérdésed, akkor várom! :)

Egy négyzet ugye felosztható 4 egyforma négyzetre.

Ezután bármely kis négyzet tovább bontható 4 négyzetre.

Így 1 négyzetből kaphatunk:

1-->4-->7-->10 stb. négyzetet

Ugye itt mindig felosztásnál 1 négyzetből csinálunk 4 kicsit, vagyis 3-mal nő a négyzetek száma.

Bármilyen 1+3*k számú négyzetre felosztható a négyzet.

Ha először 9 kis négyzetre osszuk fel:

1-->9-->12-->15

9-től kezdve minden 3k számú kis négyzet is előállítható.

Lássuk hogyan lehetne 3k+2 számú négyzeteket előállítani.

Ha 9-be vágjuk az egyiket, majd megint az egyik kicsit.

1-->9-->17

Innentől kezdve megint negyedelhetünk.

17-->20-->23

Így minden 3k+2 alakú négyet előállítható 17-től kezdve.

15-től kezdve így mindent előállítottunk.

A 15-nél kisebbekre kell megnézni azokat,amiket még nem sikerült előállítani.