Van egy 1-től induló számtani sorozat, a differencia 13. Mi az első csak csupa 3-as számjegyből álló tag?

Ha utánaszámolsz, csak azok a jók nekünk, ami 13-mal osztva 1 maradékot adnak.

Nézzük az ilyen típusú számok maradékait, hátha találunk valami szabályszerűséget:

3->3

33->7

333->8

3.333->5

33.333->1, ez jó lesz nekünk.

333.333->0

3.333.333->3

33.333.333->7

333.333.333->8

Most én ezt nem folytatnám, de ebből feltehetjük, hogy a maradékok periodikusan változnak így: 3,7,8,5,1,0. Hogy hogyan lehetne bizonyítani, hogy ez a végtelenségig így fog működni, egyenlőre nem tudom. Amint rájövök, megírom.

#1 es így bizonyíthatjuk

3->3

33->7

333->8

3.333->5

33.333->1, ez jó lesz nekünk.

333.333->0

3.333.333->3

33.333.333->7

333.333.333->8

Tehát a 333.333 ban megvan maradék nélkül, akkor ennek bármely egész számú szorzatában is megvan maradék nélkül. Tehát akkor 333.333x10^x (x>=0)-ban is megvan maradék nélkül.

Így a 333.333 utáni csupa 3asból álló számok felírhatóak 333.333x10^x + (3 vagy 33 vagy 333 vagy 3.333 vagy 33.333) formában. És mivel 333.333x10^x ebben maradék nélkül megvan, így a maradék csak a többi hozzáadott értéktől függ(amik persze mindig csak az az 5 fajta lehet).

Ez tetszik :D

Köszi a bizonyítást! :)