Ha két vektor merőleges egymásra, mikor egyenlő az összeg a külömbséggel?

Ha egyenlő hosszúak a vektorok, akkor teljesül:

[link]

#4 folytatása

hogy az összeg és a különbség vektor HOSSZA egyenlő.

A korrekt válasz a következő:

Definíció szerint két vektor akkor merőleges egymásra, ha skalárszorzatuk zérus.

Kérdés, skalárszorzatból hogy lesz összeg meg különbség.

Legyen két vektorunk, a és b.

Mindenféle bizonyítás nélkül, közlöm az alábbi egyenlőséget:

a*b=(1/4)*([abs(a+b)]^2-[abs(a-b)]^2)

Itt abs() a vektor abszolút értékére, azaz a hosszára utal.

A merőlegesség feltétele tehát:

[abs(a+b)]^2=[abs(a-b)]^2

Elhagyva a négyzeteket (hogy miért szabad elhagyni azt tessék meggondolni):

abs(a+b)=abs(a-b)

Vagyis azt kaptuk, hogy két vektor akkor merőleges egymásra, ha az összeg és különbségvektorok hossza egyenlő.

(Bebízonyítható, hogy az állítás fordítva is igaz).

A megfordítás néhány meggondolás után triviális, így ezt nem kell részletezni. Az általam adott összefüggés az egzakt megoldás a válaszra, mert teljesen általános.

(Például senki nem foglalkozott azzal, hogy mi a helyzet 3, vagy több dimenzióban.)