Mik lehetnek a megoldások az alábbi egyenlőtlenségre [ (tgx) ^2]-1>=0 (többi lent)?

[(tgx)^2]-1>=0

Megkeresed mikor lesz 0=0

akkor ha a belső zárójel legalább 1 [(tgx)^2]>=1 , az meg akkor lehetséges ha tangensXnégyzet nagyobb egyenlő 1-el. tgx>=gyök1

tgx mikor nagyobb gyök 1-nél?

[link]

Hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet:

(tg(x))^2>=1 /gyököt vonunk definíció szerint:

|tg(x)|>=1

Ennek akkor lesz megoldása, ha

tg(x)>=1, vagy

tg(x)<=-1

Vegyük előbb a tg(x)>=1 egyenletet. Azt tudjuk, hogy ha x=45°, vagyis x=pí/4, akkor pont 1-et kapunk, ha ennél nagyobb a szög/körív, akkor nagyobb tangensértéket kapunk, mint 1, egészen 90°-ig, vagyis pí/2-ig, ugyanis ott "elszáll" a függvény a +végtelenbe, utána pedig negatív értékeket vesz fel egészen 180°-ig, vagyis pí-ig, tehát a megoldásunk pí/4<=x<pí/2. Mivel tudjuk, hogy a tg(x) függvény periodikus, és periódusa pí, ezért a megoldáshalmazunk:

pí/4+k*pí<=x<pí/k+k*pí, ahol k tetszőleges egész szám.

Most jöhet a tg(x)<=-1 egyenlőtlenség. Azt tudjuk, hogy ha x=3pí/4, akkor -1-et kapunk, ha csökkentjük az ívhosszt, akkor kisebb értéket kapunk, de megintcsak pí/2 lesz az a határ, ameddig tudunk csökkenteni; ha a csökkentést nézzük, akkor a függvény "elszáll a -végtelenbe", vagy máshogyan a -végtelenből indul a függvény, és ahogyan növeljük a körívet, úgy nő a tangensértéke is. Ezzel azt kapjuk, hogy ha pí/2<x<=3pí/4, akkor az x tangensértéke -végtelen és -1 közé esik. És itt is kell nekünk a periódus:

pí/2+k*pí<x<=3pí/4+k*pí, ahol k tetszőleges egész.

Akkor kellene a metszet, ha csak a két részeredmény metszete elégítené ki az egyenlőtlenséget, de itt minden megoldás jó, tehát az uniójuk kell.

Könnyen észrevehtő, hogy a [pí/4;3pí/4] intervallum összes eleme megoldása lesz az egyenlőtlenségnek, leszámítva a pí/2-t, tehát ezt intervallummal így tudjuk felírni:

[pí/4;3pí/2]\{pí/2}, ez azt jelenti, hogy ebből az intevallumból kivettük a pí/2-t.

(Visszafelé-perjelet az ALT+92 billentyűkombinációval tudsz írni.)

De azt tudjuk, hogy periódusonként vannak a megoldások, ezért a végeredmény:

[pí/4+k*pí;3pí/2+k*pí]\{pí/2+k*pí}, ahol k tetszőleges egész.

Ha valami nem érthető, kérdezz bátran! :)

Jókat kérdezel, csak az első válaszoló nem azokra válaszolt (és nem is teljesen jól...).

Gondolj bele. A gyökvonás előtt az volt, hogy tg²x ≥ 1. Erre azt mondtad, hogy az úgy is lehet, hogy tg x ≥ 1, vagy úgy is, hogy tg x ≤ -1. (Fordítva írtad az elsőt, de bizonyára csak elírás volt.) A lényeg az, hogy így VAGY úgy. Ami a kettő unióját jelenti. Ha az lenne, hogy akkor ha ez ÉS az is egyszerre teljesül, akkor lenne metszet.

Van még benne kis csavar: Mondjuk ha a tg x ≥ 1-et nézzük, az nem egy rövidke darabon (π/4 és π/2 között) teljesül csak, hanem utána periódikusan végtelen sokszor. Ezt így lehet leírni:

π/4 + k·π ≤ x ≤ π/2 + k·π

ahol k ∈ ℤ

A másik pedig: tg x ≤ -1. Ez is ugyanúgy periódikus:

-π/2 + k₂·π ≤ x ≤ -π/4 + k₂·π

ahol k₂ ∈ ℤ

Ennek a kettőnek az uniója a válasz.

Ez már jó válasz, de lehet egyszerűsíteni: Ha felrajzolod a tangens néhány periódusát, és berajzolod (mondjuk szinessel) azokat az x helyeket, ahol ezek teljesülnek, akkor látod, hogy ennek a kettőnek az unióját fel lehet írni egy képlettel is:

π/4 + k·π ≤ x ≤ 3π/4 + k·π

ahol k ∈ ℤ

Bocs, én sem válaszoltam teljesen jól...

Az egyenlőségeket nem szabad megengedni, és akkor már az egy képletbe írás sem megy ilyen egyszerűen. Amit a második válaszoló írt, az a jó.

Az én válaszomban is van egy kis hiba, de csak véletlen elütés:

"pí/4+k*pí<=x<pí/k+k*pí, ahol k tetszőleges egész szám."

Itt pí/k helyett pí/4 akar lenni.

Köszönöm az észrevételt bongolonak :)