Hogyan kell megoldani ezt a feladatot? (Matek)

Csináltam egy dinamikus ábrát hozzá:

[link]

Ezen megérted a feladatot, és könnyen ki tudod számolni.

(A GeoGebra itt a relációs jeleket nem precízen kezeli.)

Az f(x) függvény folytonos a k pontban, ha a k pontban vett bal és jobb oldali határértéke megegyezik, vagyis

lim(x->k-0) f(x)=lim(x->k+0) f(x)

Nézzük az x=0 helyen ezt a függvényt; ehhez a ponthoz 2 függvénynek van köze; az (1-(cos(x))^2/x^2 és az (x+1)/(Ł*x+1) függvények. Az x=0 pont bal oldalán helyezkedik el az koszinuszos függvény (mivel ha x<0, akkor a koszinuszos függvény kell), jobb oldalán pedig az alfás. Nézzük meg mindtkét oldali határértéket. Először a bal oldali:

lim(x->0-0) (1-cos(x))^2/x^2

A számlálót át tudjuk alakítani az ismert összefüggés alapján: (sin(x))^2+(cos(x))^2=1, innen ((sin(x))^2=1-(cos(x))^2, tehát

=lim(x->0-0) (sin(x))^2/x^2, ez pedig a hatványozás azonosságai miatt

=lim(x->0-0) (sin(x)/x)^2

Azt tudjuk, hogy a sin(x)/x függvény 0-ban vett határértéke 1, és ennek a függvénynek is 1 lesz a határértéke (ez könnyen bizonyítható a csendőrtétellel).

Most jöhet a másik oldali határérték:

lim(x->0+0) (x+1)/(Ł*x+1), ide nemes egyszerűséggel beírhatjuk az x helyére a 0-t; =(0+1)/(Ł*0+1)=1/1=1

Most hasonlítsuk össze a két határértéket:

1=1, tehát tetszőleges Ł-ra folytonos lesz ez a függvény az x=0 helyen.

Most jöhet az x=1 hely. Itt az (x+1)/(Ł*x+1) lesz a bal oldali határértékét kell számolnunk, a jobb oldalihoz pedig az x^4+ß függvény kell:

lim(x->1-0) (x+1)/(Ł*x+1)=(1+1)/(Ł*1+1)=2/(Ł+1)

lim(x->1+0) x^4+ß=1^4+ß=ß

Ezeknek egyenlőeknek kell lenniük: 2/(Ł+1)=ß, ezzel egyenlőre nem tudunk tovább haladni.

Nézzük a következőt; x=2 helyen:

lim(x->2-0) x^4+ß=2^4+ß=16+ß

lim(x->2+0) 8x=8*2=16

Ezeknek is meg kell egyezniük, tehát 16+ß=16, erre ß=0

Az így kapott egyenleteket lineáris egyenletrendszerbe foglaljuk, mivel azt szeretnénk, hogy mindhárom megadott pontban folytonos legyen a függvény:

1=1 }

2/(Ł+1)=ß }

ß=0 }

(Igazából az 1=1 nem is kellene, de hogy precízek legyünk, azt is belevontuk).

AZ 1=1 persze kiesik, így marad:

2/(Ł+1)=ß }

ß=0 }

Tudjuk, hogy ß=0 a második egyenletből, így ez megy az elsőbe:

2/(Ł+1)=0

Ennek pedig nincs megoldása. Tehát nem létezik olyan (Ł;ß) számpár, hogy a függvény egyszerre legyen folytonos az x=0, x=1 és x=2 helyeken.

Az ötödiknek megadott függvényrész pedig a feladat szempontjából felesleges.