Hogyan kell ezt integrálni? (kettős integrálás egy T tartományon)

Bocsi, de azzal, hogy u és v 'természetes' számok hirtelen nem tudok mit kezdeni.

Amúgy ha egyszerűen valósak, akkor szerintem úgy érdemes csinálni, hogy áttérsz polárkoordinátákra, és ott megcsinálod az integrált Fubini-tétellel.

I = int(r*sin(φ)*r*cos(φ)*ln(r), r = 0..1, φ = 0..π/2) = int(r^2*ln(r), r = 0..1)*int(sin(φ)*cos(φ), φ = 0..π/2) = …

Az első tényezőt nyilván parciálisan érdemes integrálni, a másodiknál meg van valami trigonometrikus azonosság.

Mivel áttérsz polárkoordinátákra, a sugár és a szög változók szerint fogsz integrálni. Sugár szerint 0-r -ig, míg szög szerint 0-pí/2 -ig.

x helyére r*cos(fí), y helyére r*sin(fí) -t helyettesítesz.

A függvényt ne felejtsd el szorozni r-el (ami a Jacobi-mátrix determinánsa). Polárkoordinátákra való áttérésnél mindig r-el kell szorozni.

Egyrészt kis javítás, mert az logaritmus hasában nem r, hanem r^2 kéne legyen.

> „van az f(y,x) az egy vmilyen görbe x-y KR-ben, és hogy jön ez össze ezzel az negyedkör alakú tartománnyal?”

Az f(x, y) nem egy görbe, hanem egy felület. A kétváltozós integrál nem egy görbe alatti terület, hanem egy felület alatti térfogat. Most a negyedkörlap és a felület közötti térfogatot kell számolni. De például az is lehetne feladat, hogy a tengerszinten vesszük fel a koordinátasíkot, és számoljuk ki, hogy Magyarország területe felett hány köbméter föld van. Ekkor az f(x, y) függvény a Föld domborzata, amit Magyarország tartományára integrálunk ki (Oké, most Magyarország kicsi, tekintsünk el a környékén a Föld görbületétől.).

Mondjuk abból a szempontból igazad van, hogy furcsa, hogy (u, v)-vel adták meg a tartományt (x, y) helyett. Tényleg logikusabb lenne csak x-et és y-t használni. Nem lehet, hogy kihagytál valamit a feladatból?…

Ha nem feltétlenül az xy-sík egy tartománya fölötti térfogatra vagyunk kíváncsiak, hanem mondjuk egy tetszőleges térbeli felület felületére, vagy valamilyen vektormező felületi integráljára, akkor szokás a felület pontjait u-val és v-vel paraméterezni…