Miért lesz 0 a determinánsa annak a mátrixnak, aminek az összes sorának az összege 0?

Azt kell megmutatni, hogy a sorok nem lineárisan függetlenek, mert ekkor a determináns 0.

nxn-es mátrixra az alábbi egyenletek írhatók fel, ha minden sorban 0 az összeg:

a11+a12+...+a1n=0

a21+a22+...+a2n=0

...

an1+an2+...+ann=0

Fejezzük ki mindenhol az utolsó tagot:

a1n = - (a11+a12+...)

a2n = - (a21+a22+...)

...

ann = - (an1+an2+...)

Legyenek b1, b2, ... b(n-1) olyan számok, hogy

b1 * a11 + b2*a21 + ... +b(n-1) * a(n-1)1 = an1

b1 * a12 + b2*a22 + ... +b(n-1) * a(n-1)2 = an2

...

b1 * a1(n-1) + b2*a2(n-1) + ... +b(n-1) * a(n-1)(n-1) = an(n-1)

Mivel ez n-1 egyenlet és b1, b2, ..., b(n-1) ismeretlen ezért lesz megoldása az egyenletrendszernek.

(Na jó itt nem vagyok biztos benne, hogy kell-e bizonyítani, hogy nem lehetek ellentmondóak az egyenletek)

De ha igaz, hogy mindig vannak ilyen b számok, akkor

Az első sort b1-el szorozva, a másodikat b2vel stb.

Éppen az n. sort fogjuk kapni. Mégpedig azért, mert az n. oszlopban szereplő számok

a1n = - (a11+a12+...)

a2n = - (a21+a22+...)

...

ann = - (an1+an2+...)

így b1*a1n + b2*a2n + ... = bn *ann

Tehát a sorok lineárisan összefüggőek, tehát a determináns 0.