Egy 4 m hosszú,5 mm vastagságú futószőnyeget a lehető legszorosabban felcsavartunk egy 3 cm átmérőjű hengerre. Legalább milyen hosszú zsineg kell az átkötéséhet, ha csomóra 10 cm-t számolunk?

Kezdetben a henger atmeroje 3 cm, tehat a kerulete az 3*pi. Ha egyszer korbetekered a szonyeget rajta, akkor a henger+szonyeg vastagsaga, egy 4 cm atmeroju hengert fog alkotni, aminek a keruletet 4pi. Ha megegyszer korbe tekered, akkor 5pi lesz a kerulet. Ha ezeket a keruleteket osszeadod, akkor megkapod a szonyeg hosszat. Szoval

K_1+K_2+...+K_n=400 cm

3pi+4pi+...+(n+2)pi=400

pi(3+4+...+(n+2))=400

pi((n+2)(n+3)/2-3)=400

Rendezes utan kapsz egy masodfoku egyenletet

n^2+5n-800/pi=0

A ket megoldas : n_1=-18.652 es n_2=13.652

Nyilvan ez egy tavolsag, ami nem lehet negativ, szoval marad a 13.652. Az egyszeruseg kedvejert ezt vegyuk 14-nek, szoval 14x tekertuk korbe a szonyeget a hengeren. 14 tekeres utan az nagy hengered keruletet 16pi. Szoval 16pi+10 cm hosszusagu zsinegre lenne szukseget az atkoteshez.

Megjegyzem, ennel lehet rovidebb is, mivel nem tekertuk korbe 14x. Ha akarod kiszamolom annak is a hosszat.

Legyen

d0 = 3 cm - a kiinduló átmérő

L = 400 cm - a felcsavarandó hossz

v = 0,5cm - a felcsavarandó anyag vastagsága

Jó közelítéssel egy számtani sor összegéből kell meghatározni a sor elemeinek számát

Az elemek értéke az egyes körgyűrű alakú rétegek hossza.

A kiinduló ármérő: d0

A kerülete:

k0 = d0*π

A rétegek hosszát a középátmérővel kell számolni, mivel a vastagság nem elhanyagolható.

Az első réteg középátmérője

d1 = d0 + v

Kerülete

k1 = d1*π = d0*π + v*π

A második réteg középátmérője

d2 = d1 + v = d0 + 2v

Kerülete

k2 = d0*π + 2*v*π

...

Az n-ik réteg átmérője

dn = d0 + n*v

A kerülete

kn = d0*π + n*v*π

Most már be lehet helyettesíteni a számtani sor összegképletébe

Sn = L = n(k1 + kn)/2

L = n(d0*π + v*π + d0*π + n*v*π)/2

L = n(2*d0*π + v*π + n*v*π)/2

Mindkét oldalt 2-vel szorozva

2L = n²*v*π + n*π(2d0 + v)

Nullára rendezve

0 = n²*v*π + n*π(2d0 + v) - 2L

v*π -vel végig osztva

0 = n² + n[(2d0 + v)/v] - 2L/vπ

A feladat adatait behelyettesítve a

0 = n² + 13n - 1600/π

másodfokú egyenletet kapjuk.

Ennek pozitív gyöke

n = 16,985...

kerekítve

n = 17

Ezzel az n-ik középátmérő,

dn = d0 + n*v = 3 + 17*0,5 = 3 + 8,5

dn = 11,5

De a megkötés a külső átmérőn (D) történik, ami a középátmérőnél szőnyegvastagságnyival nagyobb, ezért

D = dn + v = 11,5 + 0,5

D = 12

az ehhez tartozó kerület (K)

K = D*π

K = 37,699...

kerekítve

K ≈ 38 cm

Vagyis 38 + 10 = 48cm kell az átkötéshez, ehhez az 50 cm-es madzag éppen elég. :-)

Csavard fel a szőnyeget. :-)

DeeDee

**********