Hogyan kell megoldani a (8^x+1) * (1-x) =2 egyenletet?

Nincs teljes megoldás, csak ötletek...

8^x = 2/(1-x) - 1

8^x = (1+x)/(1-x)

2^(3x) = (3+3x)/(3-3x)

vagyis z = 3x behelyettesítéssel:

z = log_2[ (3+z)/(3-z) ]

Ami ebből látszik:

a) -3 < z < 3 (vagyis -1 < x < 1)

b) A függvény páratlan, hisz (-z)-re:

log_2[ (3 + (-z)) / (3 - (-z)) ] = log_2[ (3-z)/(3+z) ]

= - log_2[(3+z)/(3-z) = -z

Ezért ha találunk egy z₁ megoldást, akkor z₂ = -z₁ szintén megoldás lesz.

Innen viszont már nem tudom tovább rendesen levezetni, csak ránézéssel. Az látszik, hogy z₀ = 0 mellett z₁ = 1 (és persze z₂ = -1) is megoldás. Vagyis az eredeti egyenlet megoldásai 0, 1/3 és -1/3.

Azt is be lehet látni, hogy nincs több megoldás:

d/dz log_2[(3+z)/(3-z)] = 1/ln2 · (3-z)/(3+z) · 6/(3-z)² = (6 / ln 2) / (9 - z²)

d²/dz² log_2[(3+z)/(3-z)] = (12z/ln2) / (9-z²)²

Ez z>0 esetén pozitív. Ezért a függvény deriváltja is szigorúan monoton nő a pozitív értelmezési tartományban. Az viszont azt jelenti, hogy a függvény a z függvényt csak egyszer metszheti, vagyis csak egy megoldás van z>0 esetén.