6. os matek. Oszthatóság. Hogy kell megoldani?

A feladat szövegéből kiderül, hogy a gyerekek száma osztható héttel. Ha 1-el kevesebb gyerek lenne, azok száma osztható lenne 2-vel, 3-al, 4-el, 5-el és 6-al. Ebből az állításból bár el lehet indulni. Nem tudom tanultátok-e mi a prímtényezős felbontás és a legkisebb közös többszörös. Megpróbálom anélkül elmagyarázni.

Tudjuk, hogy a (diákok száma - 1) osztói: 2, 3, 4, 5, 6. Mondjuk azt, hogy ha ezekkel a számokkal osztható, nyilván a szorzatukkal is osztható.

2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720. Ez nagyobb mint 400, vagyis nem jó. Ki kell zárnunk a felesleges osztókat, hogy kisebb számot(többszöröst) kapjunk. Például ha 2-vel és 3-al osztható akkor biztos 6-al is. Ha 4-el osztható, akkor biztosan 2-vel is. Azt állítom, hogy a 4*3*5 szorzat a legkisebb olyan szorzat, melynek osztói a 2, 3, 4, 5, 6. Ha nem hiszed, ellenőrizd le :).

4*3*5 = 60. A 60-nak osztói a 2, 3, 4, 5, 6. A 60 többszöröseinek is osztói lesznek. Keressünk egy olyan 60-többszöröst ami kisebb mint 400, és egyet hozzáadva osztható 7-el. (60;61), (120;121), (180;181), (240; 241), (300, 301), (360, 361). A diákok száma 301, mert 301 osztható 7-el(43*7) és 301-1 = 300-nak osztói a 2, 3, 4, 5, 6. A többi megoldást ellenőrzéssel zárd ki.

Én azért tudom megoldani, mert van gyakorlatom benne. Ha sok feladatot oldasz meg, akkor könnyebben rá jössz majd, hogyan kell elindulni. Ha használjuk az LKKT fogalmát, akkor: ha a diákok száma x, akkor (2, 3, 4, 5, 6)|x-1. x-1 osztható lesz a 2, 3, 4, 5, 6 számok LKKT-vel. Miért? A LKKT n számnak azon többszöröse, amely a lehető legkisebb és mint az n számmal osztható. Ez azt jelenti, hogy LKKT(2;3;4;5;6)|x-1.

2 = 2

3 = 3

4 = 2^2

5 = 5

6 = 2*3

Az összes különböző prímtényezőt vesszük a legnagyobb kitevőn, így LKKT(2;3;4;5;6) = 2^2*3*5 = 60. Innentől ugyanaz a megoldás.