Segítség! Matek házi megoldása kombinációval? Le is kell vezetni.

1. Feltesszük, hogy az őrök kiválasztásának sorrendje nem számít, így n katona esetén (n alatt a 4)-féleképpen lehet az őrséget felállítani. Lehet próbálgatással is, mivel viszonylag kis számról van szó, de a matematikai levezetése így néz ki:

A tanultak alapján (n alatt a 4)=n!/(4!*(n-4)!). Definíció szerint a faktoriálisok átírhatóak:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*...*3*2*1/(4*3*2*1*(n-4)*(n-5)*...*3*2*1)

Könnyen észrevehető, hogy tudunk egyszerűsíteni, így ez marad:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24

Ennek kell egyenlőnek lennie 1365-tel:

n*(n-1)*(n-52)*(n-3)/24=1365 /*24

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=32760

Az így kapott egyenlet konyhanyelvre lefordítva azt jelenti, hogy 4 egymást követő egész szám szorzata 32760. Melyik ez a szám? Most 2 becslést fogunk felírni; felső becslés: a szorzat legnagyobb tagja n, ezért ehhez mérten tegyük egyenlővé a tagokat. Mivel ez egy felső becslés, ezért a szorzat biztosan nagyobb lesz 32760-nál, ezért ezt írjuk fel:

n*n*n*n>32760

n^4>32760

n>13,45

Most jöhet az alsó becslés: a legkisebb tag az n-3, ezért ehhez becsüljük a tagokat; mivel a szorzat így mindenképp kisebb lesz 32760-nál, ezért ezt írjuk fel:

(n-3)*(n-3)*(n-3)*(n-3)<32760

(n-3)^<32760

n-3<13,45

n<16,45

Természetesen ezeknél az egyenlőtlenségeknél a negatív gyököt is kellene vizsgálni, de mivel n pozitív, ezért azzal nem kell foglalkoznunk.

Így azt kaptuk, hogy 13,45<16,45, így n lehetséges értékei: 14;15;16.

Írjuk fel ezeket a szorzatokat, illetve kombinációkat:

n=16; (16 alatt a 4)=16*15*14*13/24=1820, ez túl sok.

n=15; (15 alatt a 4)=15*14*13*12/24=1365, ez lesz a jó nekünk, de a rend kedvéért írjuk fel a 14-et is;

n=14; (14 alatt a 4)=14*13*12*11/24=1001, ez túl kevés.

Tehát az őrségben 15 katona szolgál.

2. Mivel visszatesszük a golyót, ezért ez egy kicsit bonyolítja a helyzetet; 2 esetet kell megkülönböztetnünk:

1. eset: ugyanazt a golyót húzzuk ki mindkétszer, erre n golyó esetén n lehetőség adódik.

2. eset: különböző golyókat húzunk ki, erre n*(n-1) lehetőség van.

A feladaból nem derül ki egyértelműen, hogy a sorrend számít-e; első körben számítson, ekkor összesen n+n*(n-1)-féleképpen lehet a golyókat kihuzigálni, ennek 28-nak kell lennie;

n+n*(n-1)=28

n+n^2-n=28

n^2=28

Erre az egyenletre nem kapunk egész megoldást, ezért ha a sorrend számít, akkor nincs az a golyómennyiség, ami igazzá tenné a feltevést, így marad az, hogy a sorrend nem számít. Ebben az esetben a második esetben foglaltakat osztanunk kell 2!=2-vel. Ezzel az egyenlet:

n+n*(n-1)/2=28

2n+n^2-n=56

n^2-n-56=0

Ennek az egyenletnek a megoldása n=15, a negatívval nem kell foglalkoznunk, tehát 15 golyó esetén, és a sorrend figyelmen kívül hagyásával lesz 28 lehetőség 2 golyó kihúzására.