Hogyan kéne ezt a mértani sorozatot megoldani?

Felírunk egy egyenletrendszert, de úgy, hogy a tagokat a1 és q függvényében határozzuk meg:

I. a1 + a1*q^2 + a1*q^4= 819 }

II. a1*q^2 - a1 = 45 }

A II. egyenletből fejezzük ki a1-et (q-t is lehetne, csak akkor a gyökvonás miatt bejön a +-, és az itt nem túl szerencsés). Kiemelünk a1-et:

a1*(q^2-1)=45, innen a1=45/(q^2-1), emiatt majd meg kell vizsgálnunk az az esetet, hogy ha q=1, iletve q=-1. De ez ráér később is.

Az I. egyenletbe írjuk a1 helyére a kapottakat:

45/(q^2-1) + 45/(q^2-1)*q^2 + 45/(q^2-1)*q^4= 819 /*(q^2-1)

45 + 45*q^2 + 45*q^4= 819*(q^2-1) /zárójelbontás

45 + 45*q^2 + 45*q^4= 819*q^2 - 819 /redukálunk

864 - 774*q^2 + 45*q^4= 0

Legyen j=q^2, ekkor az egyenlet (kicsit ismerősebb alakra átrendezve):

45*j^2 - 774*j + 864= 0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével j1=16 j2=6/5. Mivel j=q^2 volt, ezért:

1. Ha j=16, akkor q^2=16, innen q1=4 és q2=-4

2. Ha j=6/5, akkor q^2=6/5, innen q3=gyök(6/5) és q4=-gyök(6/5)

Látható, hogy a feladatban q^2 és q^4 van csak, ezért a +- a számítások során nem fog számítani, mivel mindig pozitív lesz. Ha q^2=16, akkor valmelyik egyenletbe beírjuk:

a1*16 - a1= 45

a1*15= 45 /:15

a1=3, ezzel két megoldást találtunk:

Ha q=4, akkor a1=3, és ha q=-4, akkor a1=3.

Most jöhet a másik megoldás; ha q^2=6/5, akkor:

a1*6/5 - a1= 45

a1/5= 45

a1= 225

Ezzel megvan a másik két megoldás is:

(a1;q)={(225;gyök(6/5)),(225;-gyök(6/5))}

Remélem mindent megértesz :)