SOS. Valaki segítene? Nem bírom megoldani, hiába agyalok. 1. (x-6) ² + (y+4) ² = 36 - kör Hogyan tükrözzem az origóra, az x tengelyre, illetve az y-ra? A levezetést is le tudnátok írni, kérlek?

1. Azonnal látjuk, hogy a kör középpontja (6;-4) pont.

Ha az x-tengelyre tükrözöl, akkor az y koordinátát kell átvinni az x tengely másik oldalára, vagyis az új kör középpontja (6;4).

Melynek egyenlete: (x-6)^2+(y-4)^2=36

Hasonló megfontolásokkal az y tengelyre való tükrözéskor az új középpont: (-6;-4).

Vagyis egyenlete: (x+6)^2+(y+4)^2=36.

Az origóra való tükrözés alapgondolata a következő:

Legyen egy kör egyenlete az xy derékszögű rendszerben

(x-u)^2+(y-v)^2=R^2

ahol a középpont épp az (u;v) pont.

Tekintsük az origóból kiinduló kötött (u,v) helyvektort, azaz amely a kör középpontjába mutat.

Forgassuk el a vektort 180°-al az origó körül.

Ekkor az elforgatott vektor végpontja megadja az új kör középpontját.

Az új vektor nem más, mint (-u,-v), azaz az eredeti vektor -1 szerese.

Ebből következik, hogy az új kör egyenlete:

(x+u)^2+(y+v)^2=R^2.

Az 1. annyira triviálisak, hogy a fejedet fogod verni a falba :D

1. A kör középpontja (6;-4), gyakorlatilag csak ezt a pontot kell tükrözni. Ha az y-tengelyre tükrözöd, akkor az 1. koordináta előjele fog megváltozni, vagyis a kör középpontja a (-6;-4) pont. Ha az x-tengelyre tükrözöl, akkor a 2. koordináta előjele változik, így a kör középpontja a (6;4) pont. Mivel a tengelyes tükrözés mérettartó, ezért mindkét esetben marad az r=6-os sugár.

2. Írjunk fel egy két ismeretlenes parametrikus egyenletrendszert; mivel az érintő egyenes áthalad az origón, ezért mx+0=y alakú az egyenes (m, az egyenes meredekségét jelenti), tehát:

I. x²+y²-10x-4y+25=0 }

II. mx=y }

Írjuk be a II. egyenletből y "értékét", vagyis cseréljük le az y-okat mx-re:

x^2+(mx)^2-10x-4(mx)+25=0

x^2+m^2*x^2-10x-4mx+25=0

(m^2+1)*x^2-(10+4m)*x+25=0

Ezzel kaptunk egy parametrikus egyenletet. Mivel az a cél, hogy a körnek és az egyenesnek pontosan 1 metszéspontja legyen, ezért az egyenletnek 1 megoldást engedhetünk meg, így a diszkriminánsának 0-nak kell lennie:

(10+4m)^2-4*(m^2+1)*25=0

100+80m+16m^2-100m^2-100=0

-94m^2+80m=0

m*(-84m+80)=0

Tehát az egyenlet megoldásai: m1=0 és m2=80/84=20/21.

Tehát, ha m=0, akkor a 0*x=y, vagyis 0=y egyenes lesz az érintője a körnek, ha pedig m=20/21, akkor a (20/21)*x=y egyenlet lesz az érintője. Mivel külső pontból körhöz pontosan 2 érintő húzható, ezért megtaláltuk az összes érintőt.

Remélem minden érthető, ha mégsem, kérdezz :)

2. példa:

Keressük az egyenest y=mx alakban. Keressük tehát azokat az egyeneseket, melyek érintik a kört, azaz a körrel közös pontjuk van.

Vagyis keressük a kör egyenlete és az y=mx egyenes által alkotott egyenletrendszer megoldását.

Behelyettesítjük az y=mx-et a kör egyenletébe, így x-ben másodfokú egyenletet nyerünk.

x,y-ra nézve végtelen sok megoldás van, tehát megállapítunk egy további feltételt:

A másodfokú egyenlet diszkriminánsát zérusnak vesszük, ugyanis az egyenes és kör egy közös ponttal rendelkezik.

Ebből:

Diszkrimináns=(10+4m)^2-100(1+m^2)=0

Átalakítva:

m(84m-80)=0.

Ebből két megoldás, m=0 és m=20/21 adódik, ami nem véletlen, hiszen egy körhöz két érintő húzható.

Így a két érintő egyenlete:

y=0;

y=(20/21)x;

Megjegyzem az y=0 egyenlet a kör egyenletéből közvetlenül adódik, hisz a kör sugara 2, viszont középpontjának második koordinátája is.

Kiszámíthatók az érintési pontok:

E1(5;0) és E2(105/29; 100/29);

Megjegyzem, a feladat más módszerekkel is megoldhatók, ezek közül néhány:

-Thales körös módszer;

-differenciálási módszer;

-szerkesztő eljárás;

Ugyanez rajzban:

[link]

Örülök, ha tetszett a magyarázat.

Szorgalmi feladat a kérdezőnek, ha érdekli:

Konstruálja meg annak a körnek az egyenletét, amelyet nemcsak a második feladatbéli kiszámolt érintők érintenek, de az x²+y²-10x-4y+25 = 0 egyenletű megadott kör is.