Néhány középiskolás matematikai feladat?

1 a) Közös nevezőre hozunk; számoknál úgy van, hogy ha nem találunk közös nevezőt (és nagyon nem is keresünk), akkor a számok szorzata lesz az (mivel akkor biztos, hogy mindkét szám egész többszöröse lesz, így egész számmal tudjuk a törteket bővíteni).

Tehát a közös nevező a nevezők szorzata lesz: (x+1)*(x-2). A bal oldali törtet (x-2)-vel, a jobb oldalit (x+1)-gyel bővítjük:

((x-2)*3)/((x-2)*(x+1))>((x+1)*2)/((x-2)*(x+1))

Kibontjuk a számlálók zárójelét (a nevezőkét nem érdemes, mivel később úgyis szét kellene bontani):

(3x-6)/((x-2)*(x+1))>(2x+2)/((x-2)*(x+1))

Redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

(3x-6-(2x+2))/((x-2)*(x+1))

A számlálót kibonjuk, majd összevonjuk:

(x-8)/((x-2)*(x+1))>0

A bal oldalon egy tört van, amiek nagyobb kell, hogy legyen 0-nál, vagyis pozitívnak kell lennie. Ez viszont csak akkor valósul meg, ha a számláló és a nevező előjele is megegyezik, vagyis 2 esetre tudjuk bontani az egyenlőtlenséget:

1. eset: mindekettő pozitív, vagyis x-8>0 ÉS (x-2)*(x+1)>0, ezeknek egyszerre kell teljesülnie. A szorzatnál ugyanaz a helyzet; ha előjeleik megegyeznek, akkor lesz nagyobb mint 0, így aleseteket kell nyitnunk:

1/a eset: a szorzatban mindenki pozitív, vagyis x-8>0 ÉS x-2>0 ÉS x+1>0, vagyis x>8 ÉS x>2 ÉS x>-1. Ezeknek az egyenlőtlenségeknek egyszerre kell teljesülniük. Ha közös számegyenesen ábrázoljuk ezeket, akkor láthatjuk, hogy x>8 esetén teljesülnek egyszerre, tehát x>8 lesz az 1/a esetben a megoldás.

1/b eset: a szorzatban mindenki negatív, így x-8>0 ÉS x-2<0 ÉS x+1<0, vagyis x>8 ÉS x<2 ÉS x<-1. Ezeknek egyszerre nem lesz megoldása, mivel nincs olyan szám, amelyik 8-nál nagyobb, de 2-nél kisebb. Tehát ez az eset nem áll fenn.

A második esetet ugyanígy kell végigcsinálni, csak ott a számláló és a nevező előjelét is negatívnak szeretnénk:

2. eset: x-8<0 ÉS (x-2)*(x+1)<0, itt viszont a szorzat akkor lesz kisebb, mint 0, ha előjeleik különböznek:

2/a eset: a szorzat első tagja pozitív, így x-8<0 ÉS x-2>0 ÉS x+1<0, vagyis x<8 ÉS x>2 ÉS x<-1, ebben az esetben nem tlálunk megoldást.

2/b eset: a szorzat második tagja pozitív, így x-8<0 ÉS x-2<0 ÉS x+1>0, vagyis x<8 ÉS x<2 és x>-1, itt akkor jutunk megoldáshoz, ha -1<x<2

Összegezve az esetek megoldásait, ha x>8, vagy -1<x<2, akkor igaz lesz az egyenlőtlenség.

Az össze stöbbit meg lehet ezzel a módszerrel oldani. Az abszolútértékesnél már el kell gonsolkozni egy kicsit. Tudjuk, hogy ha egy szám pozitív vagy, 0, akkor abszolútértéke maga a szám, ha negatív, akkor a szám ellentettje. Megoldom a d-t, az előtte lévők megoldhatók egyszerű meggondolással is, onnan már szerintem a többi is menni fog:

2|x|-|x+1|=2

Nézzük meg, hogy az abszolútértéken belüli tagok hol milyen előjelet vesnek fel:

x>=0, vagyis ha x>=0, akkor pozitív, egyébként negatív.

x+1>=0, vagyis ha x>=-1, akkor pozitív, egyébként negatív.

Össezvetve a két kifejezést, azt látjuk, hogy ha x>=0, akkor mindkettő pozitív (vagy 0), ha 0>x>-1, akkor az első pozitív, a második negatív, ha x<=-1, akkor mindkettő negatív, vagy 0. Tehát 3 esetet tudunk megkülönböztetni:

1. eset: x>=0, ekkor mindkettő pozitív, tehát elhagyhatóak az abszolútértékjelek mindenféle retorzió nélkül:

2x-(x+1)=2

2x-x-1=2

x-1=2

x=3, viszont x>0, tehát ez jó megoldás lesz (ellenőrzéssel is lehet igazolni).

2. eset: 0>x>-1, így x negatív, tehát annak az ellentettje lesz az abszolútértéke, x+1 pozitív, tehát ott csak elhagyjuk a ||-jelet:

2*(-x)-(x+1)=2

-2x-x-1=2

-3x-1=2

-3x=3

x=-1, de x>-1, ezért ez a megoldás nem nyerő.

3. eset: ha x>=-1, akkor mindkettő negatív, tehát mindkettőnek az ellentettjét kell vennünk:

2*(-x)-(-(x+1))=2

-2x+x+1=2

-x=1

x=-1, és mivel x<=-1, ezért ez már jó megoldás lesz.

Megtehettük volna azt is, hogy mindegyik esetben <= és >=-ket használunk, de így le tudtam egyszerűsíteni az írásomat, ekkor mindkét esetben megkaptuk volna, hogy x=-1 jó megoldás.