Matek. Hogy kell megoldani?

x ∈ ℕ

√( √(x+2014²) + √(x-2014²) ) ∈ ℕ

y = √(x + 2014²)

z = √(x − 2014²)

√( y + z) ∈ ℕ

Ebből nem látszik, hogy y és z feltétlenül egész szám kell legyen, csak az, hogy y² és z² igen.

Valójában belátható, hogy y és z is egész szám kell legyenek, máshogy nem lehetne y+z egész. De ezt most hagyjuk, fogadjuk el, hogy y és z is egészek...

x = y² − 2014²

x = z² + 2014²

y² = z² + 2·2014²   (1)

y + z négyzetszám kell legyen, nevezzük v²-nek: (v az eredeti gyökös kifejezés értéke)

y + z = v²             (2)

(y+z)² = v⁴

y² + z² + 2yz = v⁴

    (1)-et behelyettesítve:

2z² + 2·2014² + 2yz = v⁴

    átrendezve:

v⁴ - 2·2014² = 2z·(z + y)

    (2)-t behelyettesítve:

v⁴ - 2·2014² = 2z·v²

v²/2 - 2014²/v² = z

Most már közel vagyunk a megoldáshoz. z egész, ezért v² osztója kell legyen 2014²-nek, vagyis v osztója 2014-nek.

2014 = 2·19·53

Az ezekből generált osztókat kellene kipróbálni. Valójában csak a páros osztókat, mert v²/2 is egész kell legyen, tehát v páros. Szóval v ezek egyike lehet: 2, 2·19, 2·53, 2·19·53

v=2: ebből negatív szám jönne ki z-re, az nem jó

v=38: még erre is negatív a z... (38²/2 - 53²)

v=106: z = 5257, y = 5979, x = z² + 2014² = 5257² + 2014² az egyik megoldás

v=2014: z = 2028097, y = 2028099, x = 2028097² + 2014² a másik megoldás

Több megoldás nincs.