Határozd meg a következő két egyenes metszéspontjának koordinátáit?! E:3x+4y=9 és f:5y-2x=17

0. Ezek síkok te, és a metszésvonaluk egyenletrendszere pedig x = -1, y = 3.

1. A háromszög oldalainak aránya a velük szemközti szögek szinuszainak arányával egyezik.

2.

Magasságtétel: A derékszögű háromszög magasságvonala az átfogót két részre osztja. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága (m) a két rész hosszának (p-nek és q-nak) a mértani közepe, azaz képlettel: m = gyök(p*q).

Befogótétel: A derékszögű háromszög befogójának hossza (a) az átfogó hosszának (c) és a befogó átfogóra eső vetülethosszának (p) a mértani közepe, azaz képlettel a = gyök(p*c).

3. 2*(x^2 - 7*x + 10). (Na jó, csak vicceltem, mert ma vicces kedvemben vagyok.) 2*(x - 5)*(x - 2).

4. 23.

5. Nincsenek ilyen számok.

(Itt magyarázok, mert különben belém kötnétek, pedig így van. Ha a két szám négyzete azonos, akkor a két szám egyezik egymással, vagy egymás ellentettjei. Mivel a szorzatuk pozitív, az előjelük egyezik. Így a két szám csak a 6 és 6 vagy a -6 és -6 lehet, a szorzatra vonatkozó feltétel miatt. Viszont ezek négyzete nem 97.)

1. Egyenletrendszerben kell felírni, majd a tanult módon megoldani:

I. 3x+4y=9 }

II. 5y-2x=17 }

Mivel itt a kifejezés után törtekkel kellene számolni, ezért az egyenlő együtthatók módszerét választom; szorozzuk meg az I. egyenletet 2-vel, a II.-at -3-mal:

I. 6x+8y=18 }

II. 6x-15y=-51 }

Most kivonhatjuk egymásból az egyenleteket; az mindegy, hogy melyiket melyikből, én most az I.-ből fogom a II.-at kivonni:

6x+8y-(6x-15y)=18-(-51)

6x+8y-6x+15y=18+51

23y=69

y=3, ezt visszahelyettesítve valamelyik egyenletbe, mondjuk az I.-be:

3x+4*3=9

3x+12=9

3x=-3

x=-1, tehát a metszéspontok koordinátái (-1;3). Úgy ellenőrizhetjük, hogy mindkét egyenletbe visszahelyettesítjük a kapott számokat, és ha egyenlőséget kapunk, akkor jól dolgoztunk.

2. Tetszőleges (sík)háromszögben az oldalak úgy aránylanak egymáshoz, mint az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszai; ha a háromszög oldalai a;b;c, az oldalakkal szemközti szög α;β;γ, akkor igaz, hogy

a/b=sin(α)/sin(β), és fordítva

a/c=sin(α)/sin(γ), és fordítva

b/c=sin(β)/sin(γ), és fordítva.

3. Befogótétel: derékszögű háromszögben a befogó hossza a befogónak az átfogóra vetített merőleges vetületének és az átfogónak mértani közepe.

Vegyünk egy derékszögű háromszöget a és b befogókkal, c átfogóval, és húzzuk be az átfogóhoz tartozó magasságot, ekkor az átfogót két részre osztottuk; ezek a részek a befogók merőleges vetületei (gyakorlatilag: ha a Napot állítanánk a befogók közös csúcsához, akkor ilyen árnyékképet kapnánk; ez a merőleges vetület). Ezeket a

részeket nevezzük el p-nek és q-nak; p az a-nak, q a b-nek a merőleges vetülete. Ekkor igaz az, hogy

a=gyök(p*c)

b=gyök(q*c), ezt fogalmaztuk meg a fenti állításban (tételben).

Magasságtétel: a már fent említett vetületek mértani közepe a magasság, vagyis m=gyök(p*q) (ez teszi lehetővé, hogy tetszőleges négyzetgyökhosszt meg tudjunk szerkeszteni).

3. Emeljünk ki 2-t: 2*(x^2-7x+10). Ennek a másodfokú kifejezésnek kellenek a gyökei, mivel ha ismerjük a gyököket, akkor a gyöktényezős képletbe behelyettesítve megkapjuk a másodfokú kifejezés szorzatalakját; x1=5; x2=2, tehát 2*(x-5)*(x-2) lesz a szorzatalakja.

4. Tetszőleges n oldalú sokszögnek n*(n-3)/2 átlója van. A feladat szerint, ha az átlók számát osztjuk 10-zel, akkor megkapjuk az oldalszámot, vagyis

n*(n-3)/2/10=n

n*(n-3)/20=n

n*(n-3)=20n

Mivel n nem lehet 0, ezért oszthatunk vele

n-3=20

n=23, tehát 23 oldalú a sokszög, és ennek valóban 230 átlója van (a képlettel számolva).

5. Gondolom a "négyzetük 97" azt akarja jelenteni, hogy négyzetre emeljük a számokat, majd összeadjuk őket. Legyen a két szám x és y, ekkor

I. x*y=36 }

II. x^2+y^2=97 }

Az I. egyenletből y=36/x, ezt írjuk a II. egyenletbe:

x^2+(36/x)^2=97

x^2+1296/x^2=97 /*x^2

x^4+1296=97*x^2 /-97*x^2

x^4-97x^2+1296=0

Ez egy negyedfokú egyenlet, viszont másodfokúra visszavezethető; legyen x^2=z, ekkor

z^2-97z+1296=0

Megoldóképlettel megoldjuk; z1=81; z2=16. Igen ám, de ezek x^2-tel voltak egyenlőek, tehát

x^2=81, amiből x1=9, x2=-9

x^2=16, amiből x3=4, x4=-4.

Innen meghatározható y értéke is:

9*y1=36, innen y1=4

-9*y2=36, innen y2=-4

4*y3=36, innen y3=9

-4*y4=36, innen y4=-9, tehát a megoldáspárok: (9;4),(-9;-4),(4;9),(-4;-9).