1. Egy háromszög oldalai: 14,7 és 30cm. Határozd meg a háromszög legkisebb szögét?!

1. Ha csak két oldal van megadva, akkor akármekkora lehet akármelyik szöge. Ha pedig a három oldal 7, 14 és 30 cm, akkor ilyen háromszög nem létezik, mivel a háromszög-egyenlőtlenség nem teljesül rá; 14+7>30 nem igaz, pedig annak kellene, hogy legyen.

2. A kör átmérője a téglalap átlója. Legyen a téglalapok oldalai 3x és 4x, ekkor (3x):(4x)=3:4 teljesül. A téglalap oldalai és az átfogó derékszögű háromszöget határoznak, meg, ahol az átfogó az átló. Pitagorasz tételével:

10^2=(3x)^2+(4x)^2

100=9x^2+16x^2

100=25x^

4=x^2

2=x, tehát a téglalap oldalai:

3*2=6 cm

4*2=8 cm.

3. Osztályátlagot úgy számolunk, hogy összeadjuk a jegyeiket, majd elosztjuk a létszámmal, esetünkben 25-tel. Kapjon x gyerek 4-est és y gyerek 5-öst, ekkor a jegyek összege 4*2+12*3+x*4+y*5, így az átlag (4*2+12*3+x*4+y*5)/25, ez egyenlő 3,4-del:

(4*2+12*3+x*4+y*5)/25=3,4

44+4x+5y=85

4x+5y=41

Mivel 4-en kaptak 2-est, 12-en hármast, az osztálylétszám pedig 25, ezért 25-4-12=9 tanuló jegye nincs meghatározva, vagyis x+y=9. Ezzel egy egyenletrendszert tudunk felállítani:

I. 4x+5y=41 }

II. x+y=9 }

II.-ból y=9-x, ezt írjuk be I.-be:

4x+5*(9-x)=41

4x+45-5x=41

-x=-4

x=4, tehát 4-en kaptak 4-est, így 9-4=5-en kaptak 5-öst.

4. Rajzoljunk egy kört, húzzuk be egy húrját (lehetőleg az ne az átmérő legyen), majd kössük össze a végpontjait a kör középpontjával. Az utóbb behúzott két szakasz hajlásszöge 120°, viszont a behúzott szakaszok a kör sugarai. Legyen a kör sugara r, ekkor egy egyenlő szárú háromszöget látunk. Húzzuk be a magasságvonalát, ezzel két egybevágó derékszögű háromszögre tudjuk bontani (mivel a magasságvonal egyben a szimmetriatengely is). Ebben a derékszögű háromszögben az egyik szög 60°-os, az ezzel szemközti befogó hossza 10/2=5 cm, az átfogója r. Erre fel tudjuk írni a szinuszt:

sin(60°)=5/r

√3/2=5/r, innen r=10/√3=10*√3/3=~5,7735 cm, ekkora a kör sugara.

Mint írtam, 2 szakasz nem határoz meg egy háromszöget, pontosabban végtelen sok háromszöget meghatároz;

szerkesszük meg a háromszöget. Mérjünk fel 30 cm-t, majd az egyik csúcsából körzőzzünk 14,7 cm-es sugárral. Ha ennek a körnek bármelyik pontját összekötjük a másik végpontjával, akkor megfelelő háromszöget kapunk (2 esetben elfajult háromszög lesz). Mivel a körívnek végtelen sok pontja van, ezért végtelen sok háromszög adható meg így.

Szóval valami adatot keríts még hozzá, hogy értelmes feladat legyen belőle.

1. Menjen x diák emelt szintre, ekkor x+6-an mentek középszintre, összesen 36-an:

x+x+6=36

2x=30

x=15, tehát 15-en mentek emeltre, és 15+6=21-en középre.

2. egyenletrendszerben kell felírni:

I. x^2+y^2=25 }

II. y=15-x }

A II.-ban kifejezték y-t, így azt írjuk be az I.-be:

x^2+(15-x)^2=25

Itt nem tagonként emelünk négyzetre (mint ahogyan sokan akarnának), hanem az (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 képlettel

x^2+225-30x+x^2=25

2x^2-30x+200=0

x^2-15x+100=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével (a=1, b=-15, c=100): mivel a másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása, ezért az egyenes és a kör nem fogják egymást metszeni.