Hogyan kell megoldani a következő matematikai feladatokat?

Az első feladathoz kellene tudni, hogy tanultátok-e már a számtani sorozatokat.

2. Egy dobozban 4 piros és x fehér golyó van, ekkor x+4 darab golyó van a dobozban, így 1 piros golyó kihúzásának esélye 4/(x+4). Azt szeretnénk, ha ez a valószínűség legalább 14% lenne, tehát a következőt írhatjuk fel:

4/(x+4)≥0,14 /*(x+4)

4≥0,14x+0,56 /-0,56

3,44≥0,14x /:0,14

~24,57≥x, tehát ha a fehér golyók száma 24, 23, 22, ..., 3, 2, 1, 0, akkor annak az esélye, hogy piros golyót húzunk ki, legalább 14%. Mivel x maximuma a kérdés, ezért az a válasz, hogy 24 golyó esetén még 14%-nál nagyobb eséllyel fogunk piros golyót kihúzni.

3. Ismétléses permutációval kiszámolható, hogy hány 7-jegyű szám képezhető: 7!/(2!*3!)=420, ezekből 2-t véletlenszerűen kiválasztunk, vagyis nem számít a sorrend, így (420 alatt a 2)=87990-féleképpen választhatunk. Ez lesz az összes eset.

Egy szám akkor osztható 5-tel, ha utolsó számjegye 0 vagy 5. Itt 0-ra nem fog szám végződni, így kizárásos alapon marad az 5. Most az a kérdés, hogy az 1, 1, 3, 3, 3, 4 számokat hányféleképpen lehet egymás mellé írni? Ugyanúgy járunk el, mint az előbb; 6!/(2!*3!)=60 esetben lesz 5-tel osztható a számunk, ezekből 2-t (60 alatt az 2)=1770-féleképpen választható ki 2 darab 5-tel osztható szám. Tehát ez a kedvező eset.

Kedvező eset/összes eset képlettel számolva 1770/87990=~0,02=2% esély van arra, hogy mindkettő osztható lesz 5-tel.

4. 90 számból kell 5-öt kiválasztanunk úgy, hogy a sorrend nem számít; (90 alatt az 5)=43949268-féle ötös számsort tudunk képezni, ez lesz az összes eset.

Kedvező eset: itt a 27-est fixen ki kell húznunk, a többi helyre csak ennél nagyobb számokat húzhatunk; 28-tól 90-ig 63 szám van, tehát 63 számból kell még 4-et kiválasztanunk: (63 alatt a 4)=595665-féleképpen tudjuk ezt megtenni.

Kedvező eset/összes eset képlettel számolva 595665/43949268=~0,01355=1,355% esélyünk van erre.