Hogyan kell megoldani ezt a két matekpéldát?

Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 8 cm-rel több, mint az átfogó hossza. A háromszög kerülete 48 cm. Mekkorák az oldalak?

a + b = c + 8

a + b + c = 48

c + 8 + c = 48

c = 20 cm

a + b = 28 --> b = 28 - a

a^2 + (28 - a)^2 = 400

a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400

2a^2 - 56a + 384 = 0

a^2 - 28a + 192 = 0

(a-12)(a-16) = 0

a = 12 cm

b = 16 cm

c = 20 cm

a' = 16 cm

b' = 12 cm

c = 20 cm

Legyen x az 1 óra alatt legépelt oldalak száma, y a legépeléshez szükséges idő, ekkor x*y=120 egyenlet felírható, mivel x oldalt gépel le y órán keresztül, és 120 oldal kell (ha x=10, y=2, akkor 10*2=20 oldalt gépelt le, így jön ki a szorzat). A szöveg alapján, ha x+2 oldalt gépelt volna le, akkor y-2 órára lett volna szüksége a 120 oldal legyártásához, így

(x+2)(y-2)=120.

Ezeket egy egyenletrendszerben fel tudjuk írni:

I. x*y=120 }

II.(x+2)(y-2)=120 }

Az I. egyenletből y=120/x, ezt írjuk y helyére a II. egyenletben:

(x+2)(120/x-2)=120 /zárójelbontás

120-2x+240/x-4=120 /összevonás

116-2x+240/x=120 /*x

116x-2x^2+240=120x /-120x

-2x^2-4x+240=0 /:(-2)

x^2-2x-120=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletéből kijön, hogy x1=12 és x2=-10, de negatív lapszámot nem tud legépelni, ezért x=12 lesz a megoldás, vagyis eredetileg 12 oldalt gépelt le. Hogy megtudjuk mennyi időbe tellett, vissza kell helyettesítenünk az y=120/x képletbe: y=120/12=10, vagyis 10 órára volt szüksége.