Statika feladatban Simpson szabály alkalmazása?

Ott többször is kell Simpson-t számolni.

a) Erőrendszer redukálása egy pontra:

Ez egyrészt az eredő erőt (ez pontfüggetlen), valamint most a C pontra számított forgatónyomatékot jelenti.

Az eredő erő a görbe alatti terület lesz, vagyis ki kell integrálni. Azt meg a Simpson formulával lehet kiszámolni (mivel harmadfokúnál nem nagyobb (első és másodfokú a két rész), ezért pontos eredményt ad a Simpson).

A formula ez:

szélesség/6 · ( f(bal) + 4·f(közép) + f(jobb) )

Az AB szakaszon:

Fab = 4/6 · (4 + 4·(-2) + (-3))

4m a szélesség, a /6 mindig annyi, bal oldalon 4 N/m az f₁ erősűrűség, középen -2 (f₂), jobb oldalon meg -3 (f₃).

A BC szakaszon:

Fbc = 3/6·(-3 + 4·(-1) + 1)

Itt a középső érték nem volt megadva, de mivel lineáris, egyszerűen a bal és jobb átlaga: (-3 + 1)/2 = -1

Az eredő erő ennek a kettőnek az összege: Fab + Fbc

Ez egyébként -7,67 N, nem pedig plusz, ahogy a megoldás írja.

Az ey azt jelenti a megoldásban, hogy y irányú az erő. A -7,67ey lefelé mutató erőt jelent.

Kell még a C pontra számított forgatónyomaték is. Ez így megy:

∫ x·f(x) dx

ahol x a C ponthoz képesti előjeles távolság. Szóval úgy vesszük, mintha C-ben lenne az origó.

Ezt is Simpsonnal lehet számolni, csak most nem az f₁ stb. értékeket kell beleírni, hanem azoknak az x-szeresét.

Az AB szakaszon:

Mab = 4/6 · (4·(-7) + 4·(-2)(-5) + (-3)(-3))

Az A pontban x=-7, középen x=-5, a B pontban meg x=-3

A BC szakaszon:

Mbc = 3/6·(-3(-3) + 4·(-1)(-1,5) + 1·0)

Ennek a kettőnek az összege lesz az eredő forgatónyomaték: M = +21,5 Nm

Erre is ellenkező előjel jött ki nekem.

A forgatónyomaték irányvektora e_z (z alsó indexben van), szóval a z tengely irányában van. Azért, mert keresztszorzatot kellett számolni (az integrál belsejében), és x-nek e_x, f(x)-nek meg most e_y az irányvektora, ennek a kettőnek a keresztszorzata pedig e_z.

b) Hol kell alátámasztani

Ott, ahol a forgatónyomaték nulla. Az meg az origóhoz képest számított forgatónyomatéknak és az erőnek a hányadosa.

Szóval ki kell számítani az A-hoz képesti forgatónyomatékot:

Az AB szakaszon:

Mab = 4/6 · (4·0 + 4·(-2)·2 + (-3)·4)

A BC szakaszon:

Mbc = 3/6·(-3·4 + 4·(-1)·5,5 + 1·7)

Az összegük -32,166. Mivel az erő -7,67, a kettő hányadosa 4,196

Ki lehetett volna úgy is számolni, hogy az előbb kijött a C-hez képesti forgatónyomaték, az osztva az erővel kiadja a C-hez képesti helyét az alátámasztásnak. Azt még 7-ből ki kell vonni, hogy az origóhoz képesti koordinátát kapjuk meg.

De úgy gondoltam, inkább legyen még egy (illetve kettő) Simpson számolás :)