Matekosok, hogy oldom meg ezt a szinuszos egyenletet: 3sin a+sin^2a=2b^2+8b+12?

Kikötést kell írni a jobb oldalra: a bal oldal maximális értéke 4, ezt a=π/2+k*2π (k tetszőleges egész) esetén éri el; minimuma -2 lehet, mivel 3sin(a) minimuma -3, ahol pedig ezt felveszi, ott sin^2(a) értéke 1, és -3+1=-2. Ez persze nem egy precíz bizonyítás, de ennyi nekünk elég.

Így már két egyenlőtlenséget kell megoldanunk:

4>=2b^2+8b+12, és

-2<=2b^2+8b+12, ezek egymástól független egyenletek, tehát a megoldáshalmazt nem kell összehasonlítani; uniójuk lesz a megoldáshalmaz.

Alakítsuk a jobb oldalt teljes négyzetté:

2b^2+8b+12 = 2(b² + 4b + 6) = 2(b+2)² + 4

Ez azt jelenti, hogy a jobb oldal értéke minimum 4, hisz a négyzetes tag pozitív, vagy nulla. Mivel a bal oldal nem lehet 4-nél nagyobb, ezért b=-2 és csak ezt kell megoldani:

3 sin α + sin²α = 4

Amit már #3 meg is oldott... (sin α = 1 kell legyen)