Hogyan határozhatók meg azok az a, b valós paraméterek, amelyekre az 1 kétszeres gyöke az a*xⁿ + b* (xⁿ/x) + 1 polinomnak?

A polinom így kell kinézzen a kétszeres gyök miatt:

p(x) = (x-1)²·q(x)

ahol q(x) egy n-2 fokú polinom.

Vagyis (ax^n + bx^(n-1) + 1) osztható (x² - 2x + 1)-gyel maradék nélkül.

Ha elkezdjük a polinomosztást, néhány lépés után jön az a sejtésünk, hogy a k-adik lépés után a maradék ez lesz:

((k+1)a + k·b)·x^(n-k) − (k·a + (k-1)b)·x^(n-k-1) + 1

Ez teljes indukcióval bizonyítható:

- k=1-re próbáld ki, nem írom le

- feltesszük, hogy k-ra a fenti maradék jött ki

- a következő lépésben a hányados ((k+1)a + kb)·x^(n-k-2) lesz. A visszaszorzott értéket kivonva a fenti maradékból ezt kapjuk: (vezesd le)

((k+2)a + (k+1)b)·x^(n-k-1) − ((k+1)a + k·b)·x^(n-k-2) + 1

Ez pedig pont a k+1-hez tartozó maradékértékkel azonos formájú, tehát bebizonyítottuk a sejtést.

A polinomosztás eredménye n-2 fokú, tehát az osztás n-2+1 lépésből áll. Ahhoz, hogy a polinom osztható legyen, az kell, hogy a k=(n-2)-edik lépés után x²-2x+1 legyen a maradék:

x² együtthatója: (n-1)a + (n-2)b = 1

x együtthatója: -((n-2)a + (n-3)b) = -2

az 1 megvan.

Ha megoldod ezt az egyenletrendszert, kijön a és b értéke az n függvényében.