Milyen p prímekre lesz ( (2^ (p-1) ) -1) /p négyzetszám?

Ha p=2, akkor a kifejezés értéke 1/2, nem egész. Feltehetjük tehát, hogy p páratlan.

p = 2k+1

A számláló:

2^(2k) - 1 = (2^k - 1)(2^k + 1)

Ez két egymástól 2 távolságra lévő szám, csak 2 lehet a közös osztójuk. Viszont páratlanok, tehát nincs közös osztójuk.

A szorzat csak úgy lehet p·n², ha az egyik r², a másik pedig p·s²

a)

2^k - 1 = r² valamint 2^k + 1 = p·s²

r páratlan: r = 2t+1

r² = 4t² + 4t + 1 = 4u + 1

2^k - 1 = 4u + 1

2^k = 4u + 2 = 2(2u+1)

Ez csak akkor teljesülhet, ha u=0, k=1, r=1

Ekkor 2^k+1 = 3 = p·s² teljesül, vagyis az egyik megoldás a p=3.

b)

2^k + 1 = r² valamint 2^k - 1 = p·s²

2^k = r² - 1 = (r-1)(r+1)

r-1 és r+1-nek is kettő hatványnak kell lennie. Könnyen belátható, hogy ez csak 2·4 estén áll fenn.

(pl. úgy, hogy 2^u+2 = 2·(2^(u-1) + 1) = 2^v → 2^(u-1) + 1 osztható 2-vel → u=1)

Tehát r² = 9, p·s² = 7, ami p=7 esetén teljesül.

Több megoldás nincs.