Jó matekos tudna segíteni? Nagyon megköszönném! (Többi lent! )

Szia!

1. Írjuk fel az AB átmérőjű kör egyenletét, ha A (-2; 2) és B (4; 0).

A kör általános képlete: (x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r^2

Itt az r a sugarat jelöli, x1 és x2 pedig a középpont koordinátái: C(x1,y1).

Mivel az AB szakasz a kör átmérője, a középpontot megkapjuk, ha az A és B pont számtani közepét vesszük: x1=(-2+4)/2=1, x2=(2+0)/2=1, tehát C(1;1). A sugár kiszámításához meghatározhatjuk az AC vagy a CB szakasz hosszát is, mivel ezek egyenlőek. AC=CB=(3;3). A sugár hosszát megkapod a Pitagorasz-tételt alkalmazva: r=gyök(3^2+3^2)=gyök(18).

Tehát a kérdéses egyenlet, behelyettesítve a kiszámított értékeket a kör általános egyenletébe:

(x-1)^2+(y-1)^2=18

2. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az x+3y=4 egyenletű egyenessel párhuzamos, továbbá áthalad az A (1; 3) ponton.

Két egyenes párhuzamos, ha megegyezik a meredekségük. Átalakítva a fenti egyenletet y=mx+b alakra: y=-1/3x+4/3.

Tehát minden olyan egyenlet párhuzamos ezzel, ami felírható az alábbi alakban: y=-1/3x+C, ahol a C egy konstans. Mivel tudjuk, hogy a keresett egyenlet áthalad az A(1;3) ponton, meghatározhatjuk a konstans értékét: 3=-1/3*1+C, amiből kiszámítható, hogy C = 10/3.

A megoldás: y=-1/3x+10/3, vagy visszaalakítva az eredeti alakra: x+3y=10.

3. Egy munkahely 40 dolgozója közül 22 volt már Prágában. A dolgozók 60%-a korábban már járt Varsóban. Hányan voltak már mindkét városban, ha nincs olyan dolgozó, aki egyik várost sem látta?

Halmazelméletesen példáknál a legjobb, ha Venn-diagramokat rajzolsz, sokkal szemléletesebb. Ettől itt most érthető okokból eltekintenék. Prágában 22-en jártak, Varsóban 24-en. Összesen 40 ember dolgozik a cégnél, és mindenki járt legalább az egyik városban. Egyenletekkel felírva, ha x jelöli csak Prágát, y csak Varsót, k pedig a közös halmazt:

(1) x+k=22

(2) y+k=24

(3) x+y+k=40

Ha a (3)-as egyenletből kivonod az elsőt, megkapod, hogy y=18, (2)-esből (1)-et kivonva pedig, hogy x=16. A harmadik egyenletből ezután kijön, hogy k=6. Tehát csak Prágában 16-an, csak Varsóban 18-an jártak, mindkét helyen pedig 6-an.

4. Magyarországon 2009-ben a bankban elhelyezett betétek kamatából 20% kamatadót kellett fizetni, amelyet a bank a kamat jóváírásakor automatikusan levont. Hany forint kamatadót vont le a bank, ha a levonás után 12000 Ft kamatot fizetett?

A csúnya Állambácsi a megadott kamatból 20% adót von le, tehát a levonás után kapott maradék 80% a 12000 Ft. Ha ezt a 12000 forintot elosztjuk 0,8-cal, megkapjuk azt az összeget, amit kamatadó nélkül kapnánk (az adóalapot). Ez jelen esetben 15000 Forint. A kamatadó ezután már könnyen számítható: vagy veszed a 15000 és a levonás utáni 12000 forint különbségét, vagy az adóalap 20%-át: 15000*0,2. Az eredmény természetesen mindkét esetben 3000 Ft.

5. Aladár lemérte Magyarország 1:2 3000 000 méretarányú térképén a Szeged-Cegléd távolságot, és 4, 5 cm kapott. Milyen távolságra van Szeged Ceglédtől, Magyarország 1: 1200 000 méretarányú térképén? Az eredményt tized cm pontossággal adjuk meg. Válaszunkat indokoljuk.

Szerintem ezt a kérdést kicsit elírtad. 1 a 23 millióhoz kicsinyítést alkalmazva a 4,5 cm a valóságban (1:1 méretarány) 23'000'000*4,5=103'500'000 cm, ami 1035 km. Szeged-Cegléd távolság durván 100 km lehet, tehát itt valami nem stimmel. Mindenesetre ez az 1:1'200'000 méretarányú térképen 4,5cm*23'000'000/1'200'000 = 86,25 cm lenne.