Matek diferencia egyenlet?

Nézzük, hogy az n-dik évre mennyi tartozása marad, ha a felvett kölcsön c, a kamat d, a törlesztés mértéke x:

1. évre: c

2. évre: c*d-x

3. évre: (c*d-x)d-x=c*d^2-dx-x=c*d^2-x*(d+1)

4. évre:((c*d-x)*d-x)*d+x=(c*d^2-dx-x)*d+x=c*d^3-d^2x-dx-x=

=c*d^3-x*(d^2+d+1)

5. évre: (((c*d-x)*d-x)*d+x)*d-x=(c*d^3-d^2x-dx)*d-x=c*d^4-d^3x-d^2x-dx-x=

=c*d^4-x*(d^3+d^2+d+1)

.

.

.

Ennyiből már látható a szabályszerűség:

n. évre: c*d^(n-1)-x*(d^(n-2)+d^(n-3)+...+d^2+d+1), ha behelyettesítjük a megadott adatokat, akkor ennek a kifejezésnek legfeljebb 0-nak kell lennie:

2.000.000*1,06^(n-1)-600.000*(1,06^(n-2)+1,06^(n-3)+...+1,06^2+1,06+1)≤0 /hozzáadás

2.000.000*1,06^n≤600.000*(1,06^(n-2)+1,06^(n-3)+...+1,06^2+1,06+1)

A jobb oldalon a zárójelben egy mértani sorozat van, ahol a quotiens q=1,06, vehetjük növekvőnek és csökkenőnek is, de vegyük növekvőnek, arra könnyebb felírni, ekkor az indulóérték a1=1, ekkor a fenti összeg 1*(1,06^(n-2)-1)/(1,06-1)=(1,06^(n-2)-1)/0,06, ekkor

2.000.000*1,06^(n-1)≤600.000*(1,06^(n-2)-1)/0,06 /600.000/0,06=10.000.000

2.000.000*1,06^(n-1)≤10.000.000*(1,06^(n-2)-1) /zárójelbontás

2.000.000*1,06^(n-1)≤10.000.000*1,06^(n-2)-10.000.000 /:2.000.000

1,06^(n-1)≤5*1,06^(n-2)-5

Ezzel egy exponenciális egyenlethez jutottunk, amit már könnyűszerrel meg tudunk oldani. Hatványozás azonosságot kell használnunk; két azonos alapú hatvány hányadosa egyenlő az alap a két hatvány különbségére emelt hatványával, képlettel: a^x/a^y=a^(x-y), tehát erre már átírható a kér hatvány:

1,06^n/1,06≤5*1,06^n/1,06^2-5 /*1,06^2

1,06*1,06^n≤5*1,06^n-5,168 /legyen 1,06^n=k, ekkor

1,06*k≤5*k-5,168 /-5*k

-3,94*k≤-5,168 /:(-3,94), megfordul a reláció

k≥1,31117 /visszaírás

1,06^n≥1,3117 /vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:

lg(1,06^n)≥lg(1,3117) /logaritmus 3. azonossága: lg(h^z)=z*lg(h)

n*lg(1,06)≥lg(1,3117) /:lg(1,06)

n≥lg(1,3117)/lg(1,06)=0,1178/0,0253=4,656, így n=5, vagyis az 5. évre már "negatív tartozása" lesz, vagyis a 4. évben még volt tartozása, tehát 4 éven keresztül kell fizetnie így az adósságot.

Ez a megoldás akkor él, ha az első törlesztés előtt megvárja, hogy kamatozzon a hitele. Ha még a kamatozás előtt fizet, akkor az elején az első lépéseket kell átvariálni, de a gondolatmenet gyakorlatilag ugyanaz lesz.

Megkérdezhetem, hogy miért ez a kérdés címe?