Hogyan oldjuk meg az alabbi ket matek feladatot?

1)

Képzeld (vagy még inkább rajzold) magad elé a komplex számsíkot.

A valós rész pozitív, a képzetes rész negatív, vagyis a negyedik negyedben lesz a komplex szám.

A negyeden belül pedig a szög : arc tg |képzetes| / |valós|

Azért abszolút értékkel számolok, mert az arkusz tangenssel úgyse lehet megmondani, hogy a számsík bal vagy jobb oldalán van-e a szög, vagyis úgyis utólag kell azt bekombinálni. Most a negyedik negyed miatt a jobb félsíkon lesz.

|képzetes| / |valós| = (cos π/3) / (sin π/3) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3

az pedig a π/6-nak a tangense.

Mivel negyedik negyed, ezért

arg = -π/6

2)

Képzeld (vagy rajzold) magad elé nem csak a komplex számsíkot, hanem a szinusz meg koszinusz függvényeket is.

Ha π/2 és π között van α, akkor:

sin α pozitív

cos α pedig negatív, így a negatív előjel (−i·cosα) miatt a képzetes rész pozitív

Vagyis z az első negyedben lesz.

Először írjuk át csak picit az eredetit, hogy a szög 0 és π/2 között legyen. Az még nem a trigonometrikus alak lesz!

(Biztos lehetne kapásból a végeredményt is felírni, de könnyebb két lépésben.)

A szinusz rajzáról azt látod, hogy π/2 és π között sin α = sin(π-α)

A koszinuszról meg azt, hogy −cos(α) = cos(π-α)

Vagyis:

z = sin(π-α) + i·cos(π-α)

Legyen δ=π-α (ez 0 és π/2 között van)

z = sin δ + i·cos δ

Trigonometrikus alaknál z = cosβ + i·sinβ kell legyen, és az első negyed miatt β ∈ (0, π/2) kell legyen.

Már csak a szinuszból kellene koszinuszt csinálni és fordítva.

Ha most a szinusz és koszinusz görbéket mindkettőt nézed (vagy megtanultad fejből ezeket az öszefüggéseket), akkor ez jön ki:

sin x = cos(π/2 - x)

cos x = sin(π/2 - x)

Ezekkel:

z = cos(π/2 - δ) + i·sin(π/2 - δ)

visszaírva α-t:

z = cos(π/2 - π + α) + i·sin(π/2 - π + α)

z = cos(α - π/2) + i·sin(α - π/2)