Hogyan tudjuk meghatározni egy síkidom súlypontját integrálással?

A síkidomot descartes-koordinátarendszerben ábrázolod, ahol van az x és az y tengely, ahol képletben szereplő f(x) az idom függőleges mérete x-nél.

Itt egy példatár: [link]

A wikipédiás cikk elég sovány, csak a súlypont x koordinátájáról beszél, az y-ról nem. Valójában a képlet maga teljesen általános, de olyankor x nem az x koordinátát jelenti, hanem az n dimenziós tér bármelyik koordinátáját, f(x) pedig az olyan irányú "vastagságot".

Szóval két dimenzióban:

A = ∫ f(x) dx                   (a síkidom területe)

Cx = 1/A · ∫ x·f(x) dx

Cy = 1/A · ∫ y·f⁻¹(y) dy     ahol f⁻¹(y) az f(x) inverz függvénye

Ha az f nem invertálható, csak szakaszonként, akkor a Cy kiszámításához szakaszonként kell integrálni. De van egyszerűbb módszer is a Cy kiszámítására:

Cy = 1/A · ∫ f²(x)/2 dx

Vagyis a függvény négyzetének felét kell integrálni x szerint.

Ez abból jön, hogy valójában a súlypont bármelyik koordinátája felületi integrállal adódik:

Cx = 1/A · ∫ x dA

Cy = 1/A · ∫ y dA

Kifejtve:

Cx = 1/A · ∫∫ x dy dx = 1/A · ∫ x ·( ∫ 1 dy ) dx = ∫ x·f(x) dx

Cy = 1/A · ∫∫ y dy dx = 1/A · ∫ ( ∫ y dy ) dx = ∫ y²/2 dx = ∫ f²(x)/2 dx

A fenti integrálok egy függvény alatti terület súlypontjait adják meg (az integrálási határok a terület széleinek x koordinátája). Gyakran két függvény közötti területről van szó:

A =  ∫ f(x) - g(x) dx

Cx = 1/A · ∫ x·[f(x) - g(x)] dx

Cy = 1/A · ∫ [f²(x) - g²(x)]/2 dx

Szóval nem [f(x)-g(x)]², hanem f²(x)-g²(x) felét kell integrálni x szerint (a határozott integrál határai a terület széle).

Ez meg abból jön, hogy y²/2 volt a primitív függvény az előbbi levezetésben, az integrálás határai pedig y-ban a síkidom aljától a tetejéig, vagyis g(x)-től f(x)-ig mentek.

Példa:

Mi a súlypontja az y²=x és y=x² görbék közötti területnek?

Így néz ki:

[link]

A két görbe x=0 és x=1 helyeken metszi egymást, tehát ezek között kell majd integrálni.

A felső görbe az y²=x, ami ezen a tartományon y=√x-ként is írható:

f(x) = √x

Az alsó görbe pedig az y=x²:

g(x) = x²

A síkidom területe:

      1

A = ∫ √x - x² dx = ∫ x^(1/2) - x^2 dx = [ 2/3·x^(3/2) - 1/3·x^3 ] = 1/3

      0

(A szögletes zárójelhez nem írtam oda az integrálási határokat, mert elrontaná a gyk.hu, de azok is 0 és 1 persze.)

(A továbbiakban sem írom, de mindenhol 0 és 1 vannak.)

Cx = 1/A·∫ x·(√x - x²) dx = 3·∫ x^(3/2) - x^3 dx = 3·[ 2/5·x^(5/2) - 1/4·x^4 ] = 9/20

Cy = 1/A·∫ (√x² - x⁴)/2 dx = 3/2·∫ x - x⁴ dx = 3/2·[ 1/2·x² - 1/5·x⁵ ] = 9/20