Mi a (x+2) / (x-5) ^2 határértéke, ha x->5?

Meg kell vizsgálni a bal és jobb oldali határértéket;

5-ben a függvény határértéke 7/0 alakú, vagyis 3 lehetőség van; vagy a végtelen, vagy a -végtelenbe, vagy sehova nem tart, mivel a bal és jobb oldali határérték nem egyezik meg (lásd. 1/x függvény határértéke a 0-ban).

A bal oldali határérték: a számláló 7-hez tart, ami pozitív, a nevező 0-hoz tart, de alulról, mivel 4,999999999-5 kisebb, mint 0 (ez csak szemléltetés, nem precíz bizonyítás, viszont a gondolatmenet bizonyító erejű, mivel ha bal oldali határértéket veszünk, akkor az 5-nél kisebb számmal közelítünk), így a nevező negatív LENNE, ha nem emelnénk négyzetre, amivel pozitívvá változik, így a függvény bal oldali határértéke végtelen.

Ugyanez a gondolatmenet a jobb oldali határértéknél is; ott egy 5-nél nagyobb számmal közelítünk, így a számláló a 7-hez tart, az most mindegy, hogy honnan, mert csak az előjele az érdekes, a nevező 0-hoz tart, de felülről, mivel 5-nél nagyobb számmal közelítünk, annak a négyzete pozitív, mindkettő előjel pozitív, ezért a jobb oldali határérték végtelen.

Mivel (ebben az esetben) végtelen=végtelen, ezért a függvény határértéke végtelen.