Hol hibáztam a feladat megoldásában?

Az érthetőség kedvéért a leírásban a logaritmus alapját zárójelbe tenném, az ezután következő szám az argumentum.

Feladat:

Igazold, hogy

log(2)3*log(3)4*log(4)5*...*log(242)243 egy természetes szám.

Neki is láttam a feladatnak nagy hévvel, mindent szabály szerint természetes alapú logaritmusra hozni:

(ln3/ln2)*(ln4/ln3)*(ln5/ln4)*...*(ln243/ln242)=ln243/ln2=log(2)243

Ezután kipróbáltam úőgy, hogy 10-es, majt 3-a, 2-es ill. 243-as alapú logatirmusra hoztam, és minden esetben ugyanez jött ki. Hol tévedtem? Ha az első tag nem lenne, ezen logika szeirn pont log(3)243=5 kellett volna kijöjjön, ami természetes, vagyis valamit elszúrtam. Hol a hiba?

Előre is köszönöm szépen.