Hogyen tudjuk egy függvény monotonitását, konvexitását, szélső értékét vizsgálni differenciál számítás segítségével?

A függvény deriváltja adott pontban az egyenlő a függvény adott pontjára húzott érintő egyenes meredekségével. Lokális szélsőértéket pedig ott találsz, ahol az érintő meredeksége 0, vagyis a derivált is 0 (gondolj egy parabolára, ha az aljára húzol egy érintőt, az vízszintes lesz, tehát 0 a meredeksége).

Vagyis ha szélsőértékét keressük egy függvénynek, akkor először deriváljuk, majd felírunk egy egyenletet, ahol a bal oldalon a derivált függvény van, jobboldalon pedig a 0. Pl. f(x) = x^2 függvénynél 2x a derivált, akkor a 2x = 0 egyenletet oldjuk meg, azaz x = 0, tehát 0-nál szélsőérték van.

Az inflexiós pontot hasonló módon számoljuk, csak ott a második deriválttal, vagyis a derivált deriváltjával, ez az inflexiós pont pedig az, ahol konvexből konkávvá lesz a görbe.

Itt találsz néhány kidolgozott példát:

[link]