Hol lehet annak a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa, melynek területe 25 egység, és az átfogójának a két végpontja A (1;-2) és B (6;8)?

AB szakasz hosszával a területből kiszámolod a magasságot.

Az AB -vel párhuzamos, m távolságban lévő egyenes egyenletét felírod. A kör és az egyenes metszéspontjai a keresett C pontok.

Azért leírom a megoldás menetét is:

Tudjuk, hogy a derékszögű háromszög átfogója a köré írható kör átfogója, a kör középpontja az átfogó felezőpontja (lásd. Thalesz-tétel). Ha ezeket tudjuk, akkor:

-a kör középpontja: ((1+6)/2;(-2+8)/2)=(3,5;3)

-a kör sugara: √((6-1)^2+(8-(-2))^2)/2=√(25+100)/2=√125/2=5*√5/2

Ebből már felírható a kör egyenlete:

(x-3,5)^2+(y-3)^2=125/4.

Tudjuk, hogy a háromszög területe 25 egység^2, átfogója √125=5*√5 egység. Mivel a háromszög területe úgy is kiszámolható, hogy átfogó*átfogóhoz tartozó magasság, ezért ez az egyenlet felírható:

5*√5*m=25, innen m=5/√5=5*√5/5=√5 egység.

Most a magasságtételt kell felhasználnunk; tetszőleges háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót p és q részre osztja, ekkor igaz, hogy m=√(p*q), tehát a √125-nek kell egy olyan felosztást keresni, hogy

√5=√(p*q), vagyis 5=p*q, és

p+q=√125.

Ez egy kétismeretlenes egyenletrendszer, amit meg kell oldanunk. Az első egyenletből q=5/p, így a másodikba átírva

p+5/p=√125 /*p

p^2+5=p*√125 /-p*√125

p^2-p*√125+5=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldjuk:

p1=(√125+√105)/2

Ennyi elég nekünk; lehetne tovább számolni, de ennyi adatból már tudunk építkezni (esetleg ha a megoldást ellenőrizni akarjuk, akkor tovább kell számolnunk). Tudjuk, hogy p, m és b (a háromszög egyik befogója) egy másik derékszöget zárnak be, ahol b az átfogó. Pitagorasz-tétellel számolhatunk:

((√125+√105)/2)^2+√5^2=b^2

(125+√52500+105)/4+5=b^2

(250+√52500)/4=b^2 /gyökvonás

√(250+√52500)/2=b.

Innentől fel kell írni mindkét végpontú kör egyenletét, ahol ez a sugár, egyenletrendszerbe tenni az eredeti körrel, hogy a metszéspontokat megkapjuk. Összesen 4 metszéspont lesz. Ezt már rád bízom, neked is legyen egy kis munkád :D

Remélem, mindhármunk eredményei megegyeznek:

[link]

#1 és #3 vagyok.

Elnézést, a megoldás elején egy "per 2" belekerült, így az előző megoldásom hibás. Itt a javított változat:

[link]

Most egy másik megoldást csinálok, ezen bukott ki az előző hiba.

Elkészült a második megoldás is. Itt található:

[link]

a "Derékszögű háromszög - átfogó és terület" sorban, GeoGebra munkalapként is, és ha valaki nem tudja betölteni, fényképeken is.