Mennyi a hátérértéke (analízis)?

Többféleképp is meg lehet oldani, én ebbe az írányba mennék el (nem feltétlenül a leggyorsabb, de talán a legtanulságosabb):

Látjuk, hogy n+1 van a kitevőben és tudjuk, hogy (1+1/n)^n-diken az e-hez tart. Akkor próbáljuk meg ezt kihozni valahogyan.

A fenti megegyezik [2(n+1)-2 / 3(n+1)]^(n+1). Itt már n+1 helyett nyugodtan írhatunk n-t, hisz nagy számokra teljesen ugyanúgy fognak viselkedni (n+1-es mindig eggyel korábban veszi fel ugyanazt az értéket, dehát végtelenben ez annyira mindegy. Persze kezelhetnénk n+1-vel is, de n-vel átláthatóbb. Nincs különös jelentősége)

Ekkor kaptuk, hogy [(2n-2)/(3n)]^n. A cél valami (1+1/n)^n alakú.

Hát akkor:

[2/3]^n * [(n-1)/n]^n

Ez pedig

[2/3]^n * [1-1/n]^n

A második tag tart e^-1-hez (levezethető (1+1/n)^n-ből), tehát korlátos, ez szorozva egy 0-hoz tartóval, kapunk egy 0-hoz tartót.

Itt jól látható amúgy, hogy ha kiemeléskor 1^n lett volna, akkor még e^-1-hez tartott volna a sorozat, de ha már csak egy kicsit is nagyobb (n együtthatója más, a konstanssal való növelés vagy csökkentés még nem zökkenti ki a sorozatot) a nevező vagy a számláló, akkor 0-ba vagy végtelenbe tart. (Ez amúgy nem meglepő, tapasztaltabbak egyből rávághatják, de így legalább látod a pontos levezetést is)

Kihagytam véletlenül egy -1-t a számlálóban. Ugye: [(2n-3)/(3n)]^n lett volna, amit írtál.

Nem baj, különösebben nem befolyásolja az egészet a 0-ba tartó rész így is 0-ba tart, a másik pedig továbbra is korlátos csak [1-1/n]^n helyett [1-3/2n]^n, ami ugye e^-1 helett e^-3/2-hoz tart.

Elnézést az elírás miatt!

Ezt nem kell már felbontani, ezt így le lehet integrálni.

Én eztet úgy bontanám, hogy [t+1]/[t^2 + 2t + 2]

- [1]/[t^2+2t+2]. A kettőt külön lehet ugye integrálni.

Az elsőben, ha 2/2-vel bővíted, ugye [(t^2 + 2t + 2)']/[t^2 + 2t + 2] látsz, amit már szabály szerint lehet integrálni. (a 2* ugye a deriváltba kerül be, a /2-t pedig ki emeled az integrál elé)

A másidokban pedig (a - szorzót kiveszed az elejére) [1]/[(t+1)^2 + 1]-t látsz, aminek integrálja arctan(t+1).

Innen már gondolom menni fog.

Szívesen.

Biztos van sok ilyen oldal, én annyira nem ismerek ilyeneket, de pl.: nézegetheted Tasnádi (analízis előadő BME műinfó-n) oldalát, szerintem elég jó anyagok fenn vannak:

[link]

A gyakorló munkafüzrtben van egy-pár megoldott példa 5.3 alatt.

Nem baj, úgyis ebből vizsgázok 3 hét múlva, nem árt a gyakorlás :). Nyugodtan kérdezhetsz.

Ha azt mondom, hogy ez [1+2t]/[1-t^2]=[1+t]/[(1+t)(1-t)] + [t]/[1-t^2]:

[1+t]/[(1+t)(1-t)] = [1]/[1-t]

[t]/[1-t^2] = (-1/2)[(1-t^2)']/[1-t^2]

Innen már megy?