Egy tompaszögű háromszög területe 2 négyzetcentiméter, két oldala 2 cm és 4 cm. Mekkora a tompaszög?

Tudjuk, hogy T(háromszög)=a*b*sin(a és b hajlásszöge)/2, így az egyenlet (a hajlásszöget γ-val (gammával) jelölöm):

2=2*4*sin(γ)/2 /egyszerűsíthetünk 2-vel

2=4sin(γ) /:4

1/2=sin(γ)

A szinuszfüggvény az I. és a II. negyedben pozitív, így ott kell keresnünk a megoldásokat. Nevezetes szögfüggvény, így könnyű dolgunk lesz:

I. negyedben γ=30°, ehhez még ki kell számolnunk a többi szöget, hogy megtudjuk, van-e a háromszögnek tompaszöge, ehhez előbb ki kell számolnunk a harmadik (c) oldalt koszinusz-tétellel:

c^2=2^2+4^2-2*2*4*cos(30°)

c^2=4+16-16*√3/2=~6,1436 /gyökvonás

c=2,48cm, ebből már kiszámolhatóak a szögek a szinusztétel segítségével:

2/2,48=sin(α)/sin(30°) /kikötés: a tétel miatt α≤30° /*sin(30)°=1/2

1/2,48=sin(α)

0,4032=α

Mivel α≤30°, ezért csak az első negyedben kell keresnünk az egyenlet megoldását. Számológépbe beütve

α=23,78°.

Mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög 180°-30°-23,78°=126,22°, tehát a háromszög tompaszöge 126,22°-os.

II. negyedben γ=180°-30°=150°, így a tompaszöge 150°-os.

Ez a feladat így 2 különböző háromszöget határoz meg.

Vagy ezt a videót is megnézheted:

http://www.youtube.com/watch?v=hYM-t_BvZpI