Valaki el tudná magyarázni ezt az injektív/szürjektív dolgot?

Injektív az azt jelenti, hogy kölcsönösen egyértelmű. Az egyik irányú egyértelműség az, amikor a-hoz nem rendelheted b-t és c-t is, a másik irányú pedig, hogy ha a-hoz b-t rendelted hozzá, akkor már c-hez már nem rendelheted hozzá b-t.

Grafikusan egy folytonos injektív függvénynél jól szemléltethető, hogy ha megfordítod, és az y tengely felől nézed, akkor sem tudsz olyan függőleges vonalat húzni, ami többször keresztezné a görbét.

Szürjektív pedig akkor egy leképezés, ha az értékkészlet összes elemét hozzá rendeled valamihez. Pl. ha az értékkészleted az egész számok halmaza, akkor nem találsz olyan egész számot, amihez ne lenne az értelmezési tartományban olyan elem, amihez ezt a számot rendeltük hozzá.

Ezek, amiket írtam, nem maguk a korrekt definíciók. De tényleg csak használnod kellene a google-t, hiszen a wikipedia cikkekben még ábra is van, itt például:

[link]

Ott jobbra ott van egy szürjektív leképezés, ami onnan látható, hogy a jobb oldali halmazban nincs elem, amihez ne húztak volna nyilat. A harmadik ábra egy nem szürjektív leképezés, ahol a C-hez nem húztak nyilat, ezért nem szürjektív.

Itt meg szintén hasonló ábrát találsz injektív és nem injektív leképezésről:

[link]

Szerintem ennél szemléletesebben nem is lehetne.

Az injekció kölcsönösen egyértelmű leképezés, de nem kölcsösen egyértelmű megfeleltetés. Ezt azért fontos megjegyezni, hogy később ne keveredjen össze a bijekcióval.

Amúgy szerintem képzelj el két halmazt (A és B), ezekben vannak pontok (érdemes párat berajzolni). Az A pontjaihoz rendeli B pontjait egy függvény, ezt jelezzük a két pont összehúzásával. (És A összes pontjához rendel valamit a függvény)

Ugyebár függvényről van szó, ami egy elemhez csak egy valamit rendel, tehát A pontjaiból csak egy vonal indulhat ki.

Injektív, ha B pontjaiba is csak egy vonal megy be. (Normálisan lehetne kettő is pl. x -> x^2 esetén -2 és 2-hoz is 4-t rendel, na ezt nem engedi meg az injekció)

Szürjektív, ha B összes pontjába megy vonal. (Pl. ha a két halmaz a valósszámok, és mondjuk a x^2-t nézzük, akkor csak pozitív számokat rendel hozzá, tehát "kimaradnak" a negatívak. Ezt nem engedi meg a szürjektívitás, de pl. R és [0,végtelen[-n már szürjektív a x^2)

Bijekció az, ha a két halmaz minden pontjai közt van vonal és egy vonal csak egy-egy ponthoz kapcsolódik.

Ezen példánál mindkét halmaz, az értelmezési tartomány, és az értékkészlet is ugyanaz az A halmaz mindkét függvény esetében, hiszen ott van, hogy A->A, tehát A halmazból képez A halmazra.

Legegyszerűbb ha favágó módszerrel megnézed mind egyik értékre mihez mit rendel hozzá, vagy akár ábrán behúzogatod.

Pl. α esetében:

0 -> 6

1 -> 5

2 -> 4

3 -> 3

4 -> 2

5 -> 1

6 -> 0

Ha ezt ábrázolod ugyanolyan diagrammal, mint a wikipedia-n, akkor ugyanúgy látni fogod, hogy mi a helyzet, de abból is látszik, hogy kölcsönösen egyértelmű, hogy egyrészt egy értékhez nem rendeltél hozzá többet (ezért egyértelmű), valamint ugyanazt sem rendelted hozzá többhöz. Szürjektív is, mivel mind a 7 darab elemet hozzárendeltük valamihez.