Melyik a nagyobb? az összes egész szám összege, vagy a természetes számok szorzata?

A kérdésnek így nincs sok értelme. A végtelen sorok és szorzatok között mindkettő divergens. Értéke tetszőleges nagy lehet, amit a "végtelen" jellel szimbolizálnak.

A véges esetben természetesen a szorzat lesz a nagyobb.

Sz. Gy.

Mindkettő létezik és a relációnak attól még van értelme, hogy mindkettő végtelen. Pl. 0-tól végtelenig szumma(n^2) és szumma(n) közt bárki meg tudja mondani melyik a nagyobb. Arról nem is beszélve, hogy az egész számok összege nem (feltétlenül) végtelen.

A probléma ott kezdődik, hogy az egész számok összege nem egyértelmű ugyanis a végtelenben már nem (feltétlenül) kommutatív az összeadás. És a sorrendtől függően az összeg is változik, annyira, hogy ákármelyik torlodási pontja lehet az összegük. (végtelen is, meg minusz végtelen is). De az biztos, hogy az összegük kisebb lesz, mint a természetes számok összege.

Illetve a másik probléma, hogy a természetes számok sem egyértelműen meghatározottak: eleme-e 0 vagy nem? Ez megszokás függő, ha eleme, akkor szorzatuk is 0 és nincs sok értelme a feladatnak. Tegyük fel, hogy nem az.

Ekkor mivel bármilyen 3-nál nagyobb végesre a szorzat a nagyobb, ezért végtelenre is nagyobb lesz.