Legyen n pozitív természetes szám, k pedig 2-nél nagyobb egész szám. A síkban n db konvex k-szöget rajzolva maximálisan hány részre oszthatjuk velük a síkot?

Rajzoljuk le egymás után, egyesével az n darab konvex k-szöget: Egy k-szög berajzolásával legfeljebb annyi új tartomány jöhet létre, ahány részre bontják az eddig már berajzolt k-szögek az új sokszög kerületét.

Ha már le van rajzolva j-1 darab (j>1) k-szög, akkor vizsgáljuk meg, hogy a j-edik berajzolásával maximum hány új síkrész keletkezhet. Az új k-szög minden oldalszakasza az eddigi konvex k-szögek mindegyikét maximum két pontban metszheti, a konvexitás miatt. Vagyis az új sokszög kerületén legfeljebb 2k(j-1) metszéspont lehet, tehát legfeljebb ennyivel növelhetjük a tartományok számát.

n = 0 esetben a síkot egy részre, n = 1-nél pedig két részre osztjuk

A többi esetben:

Ha minden lépésben a lehető legtöbbel tudjuk növelni a részek számát, akkor n darab k-szöggel: 2+2k[k+2k+3k+…+(n-1)k]=n(n-1)k+2

Végül pedig mutassuk meg, hogy ennyi részre tényleg fel tudja osztani a síkot n darab konvex k-szög. Egy jó konstrukció: legyenek ezek mind szabályos k-szögek úgy elhelyezkedve, hogy mindnek ugyanaz a körülírt köre, és az elsőhöz képest a többi , , , …, szögekkel van elforgatva. Ekkor nincs olyan pont, ahol három k-szög is metszi egymást, mert a szabályos k-szögeknek a beírt köre is megegyezik, és ha lenne olyan pont, amelyen három sokszög is áthalad, akkor abból a pontból három érintő is húzható lenne a beírt körhöz, de ez lehetetlen. Minden k-szög minden oldalszakasza két pontban metszi az összes többi k-szöget, tehát ezek valóban n(n-1)k+2 részre osztják a síkot.

innen van: [link]