Egy kétjegyű természetes szám 30-cal nagyobb a számjegyeinek szorzatánál. Mennyi lehet a számjegyek hányadosa?

Vagy 0.

Ugye a feltételeknek megfelelő számok a 30, az 55 és a 66. (Nem nehéz végigpróbálgatni az összes kétjegyűt… A 30-nál kisebbeket nem kell, és a szorzat tízesenként monoton nő, szóval ha találunk egy jót, ami x számjeggyel kezdődik, akkor több x számjeggyel kezdődő már nincs.)

Az előttem lévő jól mondja:

legyen a szám x+10x

Ez esetben: (10x+x)-30=x^2

0=(x^2)-11x+30

x1,2=[11+/-(gyök)(-11^2)-4*1*30]/2=(11+/-1)/2

x1=6

x2=5

Vagyis 55 vagy 66.Egy kicsit bénán jelöltem a megoldóképletet, de reménykedem, hogy érthető.

Nem értem, mit akar a 11:31-es. Így csak a 11x alakúakat keresi – feltéve, hogy x egész –, így nem derül ki, hogy esetleg van-e másmilyen is. Márpedig van. Ráadásul a végén nem is a kérdésre válaszol, csak megmondja, hogy mik az ilyen számok (hiányosan). Szóval a megoldóképlettel pont nincs gond (oké, meg se nagyon néztem…), mert a kiinduló egyenletet nem értem.

Én így csinálnám, ha már minden áron xy alakú kétjegyű számok vannak:

Legyen a szám 10x + y, ahol x és y számjegyek. A szám 30-cal nagyobb számjegyeinek szorzatánál, azaz

10x + y = xy + 30

xy - 10x - y + 30 = 0

(x - 1)*(y - 10) = -20, mivel egészek körében keressük a megoldást, ezért x-1 osztója kell legyen -20-nak:

x-1 | y-10 | x | y |

-20 | 1 | -19 | 11 | ROSSZ, x (megengedő) vagy y nem számjegy

-10 | 2 | -9 | 12 | R

-5 … R

-4 … R

-2 … R

-1 … R

1 | -20 | 2 | -10 | R

2 | -10 | 3 | 0 | JÓ

4 | -5 | 5 | 5 | JÓ

5 | -4 | 6 | 6 | JÓ

10 | -2 | 11 | 8 | R

20 … R

Tehát a feltételeknek megfelelő számok a 30, az 55 és a 66. A 30 számjegyeinek hányadosa 0/3 = 0, az 55 és 66 számjegyeinek hányadosa 5/5 = 6/6 = 1.

Ezzel az algebrai trükközéssel lényegében csak 12 esetet kellett nézni, de nem vészes végignézni akár az összes kétjegyű számot sem, sőt egyszerűbb is:

90 eset, 20 kapásból rossz, mivel 30-nál kisebbek és a jegyek szorzata pozitív. Ha az első jegyet ismerjük (ez 7-féle lehet), akkor a másodikra már felírhatunk egy elsőfokú egyenletet:

első jegy | egyenlet | második jegy (x)

3 | 30 + x = 3*x + 30 | 0 | JÓ

4 | 40 + x = 4*x + 30 | 10/3 | R

5 | 50 + x = 5*x + 30 | 5 | JÓ

6 | 60 + x = 6*x + 30 | 6 | JÓ

7 | 70 + x = 7*x + 30 | 20/3 | R

8 | 80 + x = 8*x + 30 | 50/7 | R

9 | 90 + x = 9*x + 30 | 20/3 | R

A jó számok: 30, 55, 66. A jegyek hányadosa 0 vagy 1.

Viszont kitartok a 00:06-os válaszom mellett, hogy a feladat megoldásához nem kell gondolkodni, elég, ha el tudunk számolni 100-ig, és megkapjuk ezeket a megoldásokat.