A számegyenesen egy béka ugrál, egymást követő ugrásaival felváltva a nagyobb és a kisebb számok irányába ugrik. Az első ugrással a nagyobb számok irányába ugrik 1 egységnyit. Ezután minden ugrása 1 egységgel hosszabb mint az előző?

Tehát, ha jól értem:

Az első ugrásával a 2013-ról a 2014-re ugrik, majd onnan a 2012-re, utána a 2015-re, és így tovább. Ha így van, akkor felírható ez a számsor (+-szal jelölöm, ha nagyobb, --szal, ha kisebb számra ugrik):

+1; -2; +3; -4; ... ; +2009; -2010; +2011; -2012; +2013

Zárójelezzünk a következőképpen:

(+1; -2); (+3; -4); ... ; (+2009; -2010); (+2011; -2012); +2013

Látható, hogy a zárójelezett tagokat összevonva -1-et kapunk. Már csak az a kérdés, hogy ebből a párosításból hány darab van. Tudjuk, hogy a +1; +3; ... egy számtani sorozatot alkotnak, ahol d=3-1=2. Ha kiszámoljuk, hogy ennek a sorozatnak hányadik tagja +2011 (az utolsó zárójelezett +-os szám), akkor megtudjuk, hogy hány számpárt zárójeleztünk. Ismerjük ezt az összefüggést:

a_n=a_1+(n-1)*d, itt a_n=2011, a_1=1, d=2:

2011=1+(n-1)*2 /-1

2010=(n-1)*2 /:2

1005=n /+1

n=1006, tehát 1006 zárójelezett számpárunk van, amiknek az értéke -1, így ezek összértéke -1*1006=-1006, tehát a 2012. ugrásnál már az eredeti számtól -1006 távolságra jutott el, vagyis a 2013-nál 1006-tal kisebb számra jutott, vagyis a 2013-1006=1007-re. A következő ugrásnál 2013-at lép jobbra, így az 1007+2013=3020-ra fog eljutni.