Segitség! Matek házi?

Nagyon nem mennek ezek a "kétjegyű számos" feladatok :D

Minden szám felírható ilyen összegben:

2584=2*1000+5*100+8*10+4*1

1800=1*1000+8*100+0*10+0*1

stb. Ezt kell kihasználnunk.

"Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 10" pontosan azt jelenti, hogy ha az egyik szám pl. a 8-as, akkor a másik 2-es, ha az egyik 4-es, akkor a másik 6-os. Ha az egyik számjegyet x-nek nevezzük el, akkor a másik 10-x lesz, mivel x+10-x=10. Legyen x a 10-es helyi értéken álló szám, ekkor az egyesek helyén 10-x van. A fenti gondolatmenetet követve ez a szám felírható így: x*10+(10-x)*1=10x+10-x=9x+10.

Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor a 10-es helyi értékre kerül a 10-x, az egyesre az x, ezért a szám felírható így: (10-x)*10+x*1=100-10x+9=100-9x.

Kövessük a feladat utasításait: "Ha a számjegyeit felcseréljük, az eredeti szám 3 szorosánál 2-vel nagyobb számot kapunk.", átfogalmazva: "ha az eredeti számot megszorozzuk 3-mal, majd hozzáadunk 2-t, akkor a felcserélt számot kapjuk", vagyis 3*eredeti+2=felcserélt, vagyis

3*(9x+10)+2=100-9x /zárójelbontás

27x+30+2=100-9x /összevonás

27x+32=100-9x /+9x

36x+32=100 /-32

36x=68 /36

x=1,8888..., mivel x biztosan egész, ezért ez nem lehet megoldás. Tehát a feltételeknek megfelelő szám nem létezik.

De hogy biztosak legyünk, oldjuk meg másképp is a feladatot; mivel egy kétjegyű szám 3-szorosa szerepel a feladatban, ami szintén kétjegyű, ezért legfeljebb 33 lehet az eredeti szám. A feltételeknek két szám felel meg: 19 és 28. Ha ezeknek a számjegyeit felcseréljük, akkor 91-et és 82-t kapunk. 19*3+2=59, ez nem jó, 28*3+2=86, ez sem jó. Tehát a feltételeknek megfelelő kétjegyű szám nem létezik.

2.Két város közötti utat a személyvonat 4 órával több idő alatt tesz meg,mint a gyorsvonat. A személyvonat átlagsebessége 60 km/h,a gyorsvonaté 110 km/h.Mennyi idő alatt teszik meg a vonatok a távolságot?Milyen messze van egymástól a két város?

Jelöljük x-szel a gyorsvonat sebességét, ekkor 110*x utat tesz meg (mivel sebesség=út/idő, így idő*sebesség=út), mivel a személyvonatnak 4 órával több kell, így 60*(x+4) utat tesz meg. Mivel ugyanazt a pályát járja be a két vonat, ezért ez a két érték egyenlő:

110*x=60*(x+4) /zárójelbontás

110x=60x+240 /-60

50x=240 /:50

x=4,8

Tehát a gyorsvonat 4,8, a személyvonat 4,8+4=8,8 óra alatt teszi meg a távolságot. A két város távolságát megkapjuk, ha leellenőrizzük az egyenletet: 110*4,8=528, 60*8,8=528, tehát 528 km-re van a két város egymástól.

Első körben számoljuk ki, hogy Gábor 3 óra alatt mekkora utat tett meg: 3*3,5=10,5, így 30,5-10,5=20km marad az útból 10 órakor.

Jelöljük megint az időt x-szel, ekkor Gábor 3,5*x utat tesz meg, Sándor 4,5*x-et. Amikor találkoznak, akkor ketten pontosan a fennmaradó utat, vagyis 20km-t tesznek meg:

3,5x+4,5x=20 /összevonás

8x=20 /:8

x=20/8=2,5, vagyis Gábor 2,5+3=5,5 órát, Sándor 2,5 órát tekert, így a megtett útjuk 5,5*3,5=19,25km és 4,5*2,5=11,25km; ha összeadjuk, kijön a 30,5km.

Cseréljük le a körpályát egyenes pályára a jobb megérthetőség kedvéért. A lekörözés pontosan azt jelenti, mintha egyenes pályán 900 méterrel többet tenne meg; ha egy pár esetet megnézel, amikor lekörözi az egyik a másikat, akkor megérted. Értelemszerű, hogy a gyorsabb futó fogja a lassúbbat lekörözni. Itt is jelölje x a futásra szánt időt, ekkor az egyik 7*x, a másik 4*x utat tesz meg; a két út pontosan 900m:

7x-4x=900 /összevonás

3x=900 /:3

x=300, vagyis 300 másodperc=5 perc szükséges, hogy a gyorsabb leelőzze a lassúbbat.

A gyorsabb futó 7*300=2100 métert, a lassúbb 4*300=1200 métert tesz meg, különbségük tényleg 900m.

Jelöljük Kati életkorát x-szel, ekkor testvére x/4 éves. 10 év múlva Kati x+10, testvére (x/4)+10 éves lesz, erről tudjuk, hogy a testvére életkorát beszorozva 2-vel egyenlő lesz az életkoruk:

x+10=((x/4)+10)*2 /zárójelbontás

x+10=20+(x/2) /*2

2x+20=40+x /-x

x+20=40 /-20

x=20, vagyis Kati most 20 éves, testvére 20/4=5 éves. 10 év múlva 30 és 15 évesek lesznek, ezekre is igaz a feltétel.

Ha az apa 3 óra alatt végezne a munkával, akkor (egyenletes munkát feltételezve) 1 óra alatt a munka 1/3-ával lesz kész, így x óra alatt az x/3 részével végez. Ugyanez igaz a fiára is; ő x óra alatt az x/5 részével végez a munkával.

Mivel 1 kerítést festenek le, ezért két munkájuk összege 1:

x/3+x/5=1 /*15

5x+3x=15 /összevonás

8x=15 /:8

x=15/8=1,875 óra=112 perc 30 másodperc alatt végeznek a munkával.

Az előző feladat gondolatmenetét követjük; 1 óra alatt a fiú 1/8 részével végez a munkával, vagyis együtt 1-1/8=7/8 részét csinálták meg. A mostani feladatban az apa x óra alatt x/6 részét, a fia x/8 részét részét végzi el, kettőjük munkája 7/8, mivel az előbb már 1/8-ot elvettünk:

x/8+x/6=7/8 /*24

3x+4x=21 /összevonás

7x=21 /:7

x=3, vagyis 3 órát dolgoztak együtt.

Jelöljük x-szel a sóoldat tömegszázalékát, ekkor a 120g-os sóoldat 120*x/100=1,2x sót tartalmaz. A 80g-os, 45%-os sóoldat 80*45/100=36gramm sót tartalmaz. A kettőt összeöntve 200g-os oldatot kapunk. A százalékszámítás szabályai miatt; oldott anyag/oldat*100=tömegszázalék, ebbe az egyenletbe csak be kell helyettesítenünk:

(1,2x+36)/200*100=30 /összevonás

(1,2x+36)/2=30 /*2

1,2x+36=60 /-36

1,2x=24 /:1,2

x=20, tehát a sóoldat 20%-os volt.

Legyen a 16%-os oldatból x gramm, ekkor a másikból 270-x gramm van, mivel összeöntve 270 gramm oldatunk lesz. A 16%-os oldatban 16*x/100=0,16x, a 8%-osban (270-x)*8/100=21,6-0,08x gramm oldott anyag van. Az előző feladat gondolatmenet alapján:

(0,16x+21,6-0,08x)/270*100=11 /összevonás

(0,08x+21,6)/270*100=11 /*270

100(0,08+21,6)=2970 /:100

0,08x+21,6=29,7 /-21,6

0,08x=8,1 /:0,08

x=101,25g 16%-os és 270-101,25=168,75g 8%-os oldatot keverünk össze.

Ennek a feladatnak így nem sok értelme van, így gondolom, hogy a "háromszög" az sokszög akar lenni.

Tudjuk, hogy tetszőleges (konvex) n-szögnek 180°*(n-2) a belső szögek összege, ezt könnyű belátni; válasszuk ki egy csúcsát, abból húzzuk be az összes átlót; innen n-3 átló húzható, mivel a két szomszédjába és önmagába nem fut átló. Ezek az átlók n-2 háromszögre darabolják a síkidomot, és mivel egy háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért 180°*(n-2) lesz a belső szögek összege.

Egy belső szöge: 180°*(n-2)/n, mivel a szögek összegét n egyenlő részre kell osztanunk, mivel n darab szöge van. Írjuk fel az egyenletet:

180°*(n-2)/n=160° /*n

180°*(n-2)=160°*n /zárójelbontás

180°*n-360°=160°*n /-180°*n

-360°=-20°*n /:(-20)

18=n

Tehát ez egy tizennyolcszög.

Tudjuk, hogy tetszőleges (konvex) sokszögnek n(n-3)/2 átlója van; mivel n-3 húzható az összes csúcsból, amiből n darab van, ezért minden csúcsnál n(n-3) átlót számolhatunk meg, de minden átlót megszámoltunk mind a két végpontján, ezért osztunk 2-vel, így n(n-3)/2 átlója van.

A 18-szögnek: 18(18-3)/2=9*15=135 átlója van.

Remélem mindegyik feladatot megérted :)