Hogyan kell szorzattá alakítani az azonosságok alkalmazásával?

Az első háromnál a k^2-l^2=(k-l)(k+l) azonosságot kell használni (direkt írtam másik betűket).

Az a)-nál tegyünk még meg egy lépést; a 4-est vigyük be a négyzet alá: 4(a-b)^2=(2(a-b))^2, tehát a feladat:

(2(a-b))^2-(a+b)^2

A jobb átláthatóság kedvvért nevezzük el a fenti képlet alapján a tagokat: 2(a-b)=k és a+b=l:

k^2-l^2=(k-l)(k+l), most írjuk vissza k és l helyére az eredetit:

(2(a-b)-(a+b))(2(a-b)+(a+b)=(2a-2b-a-b)(2a-2b+a+b)=(a-3b)(3a-b)

Innen a másik kettő remélem menni fog.

Másik kettőre:

d) a^2-b^2-a-b =(a+b)(a-b)-a-b

Kiemelünk -a-b-ből (-1)-et: -a-b=-(a+b)

Ha megint átnevezünk: a+b=k és a-b=l, akkor jobban látható mi a dolgunk: k*l-k, kiemelhető k: k(l-1), visszaírjuk: (a+b)(a-b-1), innen az e) szerintem menni fog.

f) Tudjuk, hogy (x-y)^3=x^3-3yx^2+3xy^2-y^3, ezért az eredeti feladatot ilyen alakúra kell hoznunk; adjunk hozzá ezt a tagot: -4yx^2+4xy^2+4yx^2-4yx^2-et (gyakorlatilag 0-át, így az értéke nem változik):

x^3-3yx^2+3xy^2-y^3-4yx^2+4xy^2+4yx^2-4yx^2, most értelemszerűen összevonva: (x^3-3yx^2+3xy^2-3y^3)+4yx^2-4yx^2, ekkor a zárójeles tag (x-y)^3: (x-y)^3+4yx^2-4yx^2, most ki tudunk emelni 4xy-t:

(x-y)^3+4xy(x-y)

Ha az előbb ráéreztünk az ízére, már nem kell átneveznünk, egyszerűen ki tudunk emelni x-y-t:

(x-y)((x-y)^2+4xy), kibontjuk a négyzetet:

(x-y)(x^2-2xy+y^2+4xy), összevonunk:

(x-y)(x^2+2xy+y^2), a második tag (láthatjuk) (x+y)^2:

(x-y)(x+y)^2.

Minden érthető?

(b+5c)^2-9(b-c)^2, a 9-est bevisszük a négyzet alá: 9(b-c)^2=(3(b-c)^2:

(b+5c)^2-(3(b-c))^2, helyettesítünk: b+5c=k; 3(b-c)=l, ekkor

k^2-l^2=(k-l)(k+l), visszahelyettesítünk

(b+5c-3(b-c))(b+5c+3(b-c))=(b+5c-3b+3c)(b+5c+3b-3c)=(8c-2b)(2c+4b)=

2(4c-b)*2(c+2b)=4(4c-b)(c+2b).