Melyik ez a két szám?

Számtani közép: összeadjuk a számokat, és az összeget annyival osztjuk, ahány számot összeadtunk (igen, ez az átlagszámítás, így számolod ki, hogy hányasra állsz).

Ha a két szám a és b, akkor a számtani közepük (a+b)/2

Mértani közép: itt szorozzuk a számokat, és anyadik gyököt vonunk, ahány számot szoroztunk. Esetünkben gyök(a*b)

Felírható az egyenletrendszer:

a+b=24

(a+b)/2-gyök(a*b)=4.

Az első egyenletből b=24-a, ezt írjuk a második egyenletbe b helyére:

(a+24-a)/2-gyök(a*(24-a))=4 /(a+24-a)/2=12

12-gyök(a*(24-a))=4 /zárójelbontás

12-gyök(24a-a^2))=4 /-12

-gyök(24a-a^2))=-8 /:(-1)

gyök(24a-a^2))=8 /négyzetre emelés

24a-a^2=64 /-(24a-a^2)

0=a^2-24a+64

Másodfokú egyenlet, megoldjuk: a1=12+gyök(80), a2=12-gyök(80).

Tudjuk, hogy b=24-a, ezért b1=12-gyök(80) és b2=12+gyök(80). Mivel a+b=b+a és a*b=b*a, ezért nem meglepő, hogy a1=b2 és a2=b1. Ellenőrzés:

(a1+b1)/2=(12+gyök(80)+12-gyök(80)/2=24/2=12.

gyök(a1*b1)=gyök((12+gyök(80))*(12-gyök(80))=gyök(144-80)=gyök(64)=8

12-8=4, tehát jól dolgoztunk.

Elrontottam, már az elején...

Az első egyenlet a-b=24, innen b=a-24, ezt kell b helyére beírni. Az előző hozzászólásom alapján próbáld meg kiszámolni.

Jópofa feladat!

A megoldás:

a = 32

b = 8

Kicsit részletesebben, mint az előbb.

A két induló egyenlet

a - b = 24

A - G = 4

ahol

A - a számtani

G - a mértani közép

a - b = 24

(a + b)/2 - √(ab) = 4

a - b = 24

a + b - 2√(ab) = 8

Jön egy helyettesítés

x = √a

y = √b

Ezekkel a két egyenlet

x² - y² = 24

(x - y)² = 8

A két egyenlet hányadosa

(x + y)/(x - y) = 3

A törtet eltüntetve

x + y = 3x - 3y

4y = 2x

x/y = 2

Van két egyenletünk

(x - y)² = 8

x/y = 2

Az elsőből gyököt vonva

x - y = 2√2

x/y = 2

A másodikból kifejezve

x = 2y

Az elsőbe betéve

2y - y = 2√2

y = 2√2

így

x = 4√2

Vissza a helyettesítésekhez

a = x²

a = 32

=====

b = y²

b = 8

====

Ellenőrzés

a - b = 32 - 8 = 24 - O.K

A = (a + b)/2 = (32 + 8)/2 = 20

G = √(32*8) = √256 = 16

vagyis

A - G = 20 - 16 = 4 - O.K

Minden stimmel! :-)

DeeDee

********