Mi a megoldása a komplex számok halmazán?

Keressük a megoldást z=x+yi alakban, ahol x és y valós számok.

Behelyettesítve:

x^2+2xyi-y^2+4x-4yi=x^2+y^2+6,

2xyi-y^2+4x-4yi=y^2+6.

A két oldal valós része megegyezik (tehát ami nincs i-vel szorozva):

4x-y^2=y^2+6. (1)

A két oldal képzetes része megegyezik:

2xy-4y=0,

2y(x-2)=0.

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényező 0. Innen a következő lehetőségek vannak:

-> y=0, akkor (1) miatt x=3/2. Tehát z_1=3/2.

-> x-2=0, azaz x=2. Ekkor (1) miatt

8-y^2=y^2+6,

2y^2=2,

y^2=1,

y=1 vagy y=-1.

Tehát a további két megoldás:

z_2=2+i,

z_3=2-i.

Szerintem nem komplementer, hanem konjugált lesz az: x+yi konjugáltja x-yi.

A megoldás pedig ugyanúgy megy, mint az előzőnél. Legyen z=x+yi. Ekkor az egyenlet:

i(x-yi)=x^2+2xyi-y^2,

ix+y=x^2+2xyi-y^2.

A valós részek egyenlőségéből:

y=x^2-y^2. (1)

A képzetes részek egyenlőségéből

x=2xy. (2)

Itt két eset lehetséges:

-> x=0. Ekkor az (1) egyenletből

y=-y^2,

y^2+y=0,

y(y+1)=0.

Tehát y=0 vagy y=-1, így az első két megoldás:

z_1=0,

z_2=-i.

-> Ha x nem 0, akkor a (2) egyenletben lehet osztani x-el, és 1=2y, azaz y=1/2 adódik.

Ezt az (1) egyenletbe helyettesítve

1/2=x^2-1/4,

x^2=3/4,

x=gyök3/2 vagy x=-gyök3/2.

Tehát a másik két megoldás:

z_3=gyök3/2+1/2i,

z_4=-gyök3/2+1/2i.

Akkor ezt a lépést részletezem:

(x+yi)^2=x^2+2xyi+(yi)^2=

=x^2+2xyi+(y^2)(i^2)=

=x^2+2xyi-y^2,

felhasználva az utolsó lépésben, hogy i^2=-1.