Egy háromszög szögei egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák ezek a szögek, ha tudjuk azt, hogy a leghosszabb oldal kétszer akkora mint a legkisebb oldal?

A szögei = a, b és c (alfa, béta, gamma, ezeket nem tudom leírni :) )

Amit tudunk

a<b<c

a+b+c=180

2a=c

b=(a+c)/2

Tehát:

a+(a+c)/2+2a=a+3a/2+2a=4.5a=180

a=40

b=60

c=80

Legyen

α, ß, γ - a háromszög szögei

a, b, c - a háromszög oldalai

Ha

a < b < c akkor α < ß < γ

A feltételek

(1) a szögek számtani sort alkotnak, melynek különbsége δ.

(2) c = 2a

A szögeket a középsőhöz viszonyítva célszerű felírni.

Az (1) feltétel miatt írható

α = ß - δ

ß = ß

γ = ß + δ

Ezek összege jelen esetben

3ß = 180

így

ß = 60°

vagyis a szögek

α = 60 - δ

ß = 60

γ = 60 + δ

Az előző válaszoló ott tévedett, hogy az oldalak arányát azonosnak vette a szögek arányával! Ez nem igaz!

A korrekt összefüggés a szinusz tételből adódik. Eszerint

c/a = sinγ/sinα

vagyis az OLDALAK aránya a velük szemben fekvő szögek SZINUSZÁNAK arányával egyezik meg.

Az oldalak arányát ismerjük, ezért a következő egyenletet lehet felírni:

2 = sin(60 + δ)/sin(60 - δ)

A törtet eltüntetve

2*sin(60 - δ) = sin(60 + δ)

Az összegképlet szerint kifejtve

2(sin60*cosδ - cos60*sinδ) = sin60*cosδ + cos60*sinδ

Zárójel felbontás és rendezés után

sin60*cosδ = 3*cos60*sinδ

Az azonos szögeket egy oldalra rendezve

tg60/3 = tgδ

√3/3 = tgδ

ebből

δ = 30°

Ezzel a háromszög szögei

α = 30°

ß = 60°

γ = 90°

vagyis egy szép derékszögű háromszöggel van dolgunk. :-)

DeeDee

***********