Mértani sorozat első és negyedik elemének összege 196, a második és harmadik elem összege 84. Mennyi az első elem és a quotiens?

Felirod, hogy miket ismersz:

a1=a1

a2=a1*q

a3=a1*q^2

a4=a1*q^3

a1 + a1*q^3=196

a1*q + a1*q^2=84

van 2 egyenleted, van 2 ismeretlened, meg kéne tudnod oldani!

Próbálj előbb egyszerűsíteni!

[link]

a₁ + a₄ = 196

a₂ + a₃ = 84

a₁ + a₁ * q³ = 196

a₁ * q + a₁ * q² = 84

a₁ * (1 + q³) = 196

a₁ * (q + q²) = 84

a₁ = 196/(1 + q³)

196/(1 + q³) * (q + q²) = 84

Ezt rendezve, 28-cal egyszerűsítve:

3q³ - 7q² - 7q + 3 = 0

3q³ + 3 = 3(q³+1)

- 7q² - 7q = -7q(q+1)

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) nevezetes azonosságot felhasználva:

q³+1 = (q+1)(q²-q+1)

3(q³+1) = 3(q+1)(q²-q+1)

Az egyenlethez visszatérve:

3(q+1)(q²-q+1) - 7q(q+1) = 0

(q+1)*[3(q²-q+1) - 7q] = 0

(q+1)*(3q²-10q+3) = 0

Egy szorzat akkor nulla, ha annak valamely tényezője nulla:

(q+1) = 0

q₁ = -1

(3q²-10q+3) = 0

q₂ = 3

q₃ = 1/3

a₁ = 196/(1 + q³)

a₁ = 84/(q + q²)

q₁ = -1 -re nem teljesülhet egyik egyenlet sem, mivel a nevező nem lehet nulla.

q₂ = 3 -ra:

a₁ = 196/(1 + 3³) = 196/28 = 7

a₁ = 84/(3 + 3²) = 84/(3+9) = 7

q₃ = 1/3 -ra:

a₁ = 196/[1 + (1/3)³] = 189

a₁ = 84/[1/3 + (1/3)²] = 189

Első esetben:

a₁ = 7

q = 3

Második esetben:

a₁ = 189

q = 1/3

Egy picit más út

A két egyenlet

m1 + m4 = 196

m2 + m3 = 84

A két egyenletet összeadva

m1 + m2 + m3 + m4 = 280

Átcsoportosítva

(m1 + m3) + (m2 + m4) = 280

Az első csoportból m1-et, a másodikból m2-t kiemelve

m1(1 + q²) + m2(1 + q²) = 280

Kiemelés után

(1 + q²)(m1 + m2) = 280

A második tagból m1-t kiemelve

m1(1 + q²)(1 + q) = 280

Az eredeti második egyenletet idevéve

m2 + m3 = 84

m2-t kiemelve

m2(1 + q) = 84

Így a két egyenletünk

m1(1 + q²)(1 + q) = 280

m2(1 + q) = 84

A két egyenletet elosztva egymással

(m1/m2)(1 + q²) = 280/84

Mivel

m1/m2 = 1/q

(1 + q²)/q = 10/3

Beszorzás, rendezés után

3q² - 10q + 3 = 0

és innen már nem lehet gond

DeeDee

*******